Semnal analitic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 iulie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Semnal analitic (reprezentarea analitică a unui semnal) este o reprezentare matematică a unui semnal analogic utilizat în teoria procesării semnalului sub forma unei funcții analitice complexe a timpului. Semnalul real x este atunci partea reală a reprezentării analitice x a .

Ideea transformării este de a lăsa doar frecvențe nenegative în spectrul semnalului , suficiente pentru a-l restabili datorită simetriei hermitiene: . $X(-f) = \overline{X(f)}$

Semnalul analitic este o generalizare a conceptului de amplitudine complexă la cazul altor semnale decât armonice .

Definiție

Fie x ( t ) o funcție cu valoare reală reprezentând semnalul, a cărui transformată Fourier (adică spectru) o notăm cu X ( f ), [1] și u( f ) funcția Heaviside .

Apoi:

\begin{align} X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} \ \ 2 X(f), & \mbox{for } f > 0, \\ \ \ X(f), & \mbox{pentru } f = 0, \\ \ \ 0, & \mbox{pentru } f < 0, \end{cases} \\ &= X(f) \cdot 2 \mathrm{u}(f) \end{align}

conține doar partea nenegativă a spectrului lui X ( f ).

Supunând spectrul rezultat la transformarea Fourier inversă, obținem un semnal analitic: $X_{\mathrm {a} }(f)$

\begin{align} x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace {\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \ mbox{ } \\ &= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)}, \end {alinia}

unde * este convoluția , este transformata Hilbert a funcției a înseamnă unitatea imaginară . $\hat{x}(t)$ $x(t),$ $j$

Exemple

Lasă o frecvență $x(t)=\cos(\omega _{0}t)$ $\omega _{0}>0$

Apoi:

{\hat {x}}(t)=\cos(\omega _{0}t-{\begin{matrice}{\frac {\pi }{2}}\end{matrice}})= \sin(\omega _{0}t)

x_{\mathrm {a} }(t)=\cos(\omega _{0}t)+j\cdot \sin(\omega _{0}t)=e^{j\omega _{ 0}t}

Aceasta este o funcție complexă cu un argument care crește în timp .

Aplicații practice

Eliminarea „frecvențelor negative” este utilizată în transmisia audio analogică ( difuzare AM , telefonie analogică ) pentru a economisi lățimea de bandă .

Semnal analitic

Definiție

Exemple

Aplicații practice

Note

Vezi și

Link- uri externe