Spațiu de coordonare

Toate fenomenele fizice pot fi descrise în spații diferite: coordonate, impuls , fază etc. Descrierile sunt echivalente din punct de vedere matematic, dar diferă prin complexitatea și intuitivitatea descrierii. În cele mai multe cazuri, spațiul de coordonate este intuitiv și cel mai ușor de înțeles procesul care are loc în el, cu toate acestea, în fizica stării solide, în general, este mai convenabil să folosiți descrierea impulsului.

Definiție

Să numim vectorului [1] -dimensional mulțimea numerelor câmpului, aceste numere sunt coordonatele vectorului.Pentru certitudine, spunem că vectorul dat este un vector cu rază , deși acest lucru nu este necesar. $n$ $n$ $P,$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}).$ ${\vec {r))$

Mulțimea vectorilor -dimensionali pentru care sunt definite operații: $n$

${\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matrix}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2 }\\\ldots \\a_{n}=b_{n}\end{matrice}}\dreapta.$
${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n })$
$\lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots ,\lambda \cdot a_{n})$

numit spațiu aritmetic -dimensional sau spațiu de coordonate -dimensional . $n$ $n$ $P^{n}$

Proprietăți

Lăsa $\exists {\vec {0}}=(0,0,\ldots ,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\ lambda \in \mathbb{R} ,\mu \in \mathbb{R}$

Asociativitate :

({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}} )

Comutativitate :

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}

Unicitatea soluției ecuației :

\forall {\vec {a)),{\vec {b}}\;\există !\;{\vec {x}}\în P^{n}\;:\;{\vec {a}} +{\vec {x}}={\vec {b}}

Existența unui element neutru :

\forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}

Existența vectorului opus:

\forall {\vec {a}}\;\exists {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{ n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}

Asociativitatea înmulțirii scalare :

\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a)))=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {A}}

Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea scalarilor:

(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}

Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea vectorială:

\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}

Existența vectorilor de bază:

Lăsa

\left\{{\begin{matrix}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots ,0)\\{\vec {v_{2 }}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots ,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}} }(0,0,\ldots ,1)\end{matrice}}\dreapta.

Apoi

Acești vectori sunt independenți liniar
Orice vector poate fi reprezentat ca ${\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ ${\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\ cdot {\vec {v_{n))}$

Operatori în spațiul de coordonate

Toți operatorii pot fi generalizați la cazul -dimensional, totuși, pentru simplitate, doar cazurile tridimensionale vor fi luate în considerare în această secțiune. $n$

Laplacian :

\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

Nabla :

\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec { k}}

Operator vectorial Laplace [2] :

{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})

Operator de impuls :

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Vezi și

Note