Metoda Krylov-Bogolyubov

Metoda Krylov-Bogolyubov este o metodă de obținere a soluțiilor analitice aproximative la ecuații diferențiale neliniare cu o neliniaritate mică.

Descriere

Considerăm un sistem dinamic cu o neliniaritate mică [1] :

{\dot {x}}=Gx+\mu F(x,\mu ,t)

(unu)

Aici este vectorul de stare al sistemului cu componente, este o matrice pătrată constantă, este un parametru mic, este o funcție vectorială neliniară a vectorului de stare , un parametru mic și timp . $X$ $2n$ $G$ $\mu$ $F$ $X$ $\mu$ $t$

La , sistemul devine liniar. Una dintre soluțiile sale periodice poate fi scrisă astfel: $\mu=0$

x_{0}=AVe^{i(\omega t+\theta ))

(2)

Aici , este o constantă arbitrară, este un vector propriu al matricei , este una dintre frecvențele naturale non-multiple ale sistemului și este o constantă arbitrară. $A$ $V$ $G$ $\omega$ $\theta$

Căutăm soluția sistemului (1) pentru sub forma unei serii în puteri ale unui parametru mic : $\mu \neq 0$ $\mu$

x=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\mu ^{k}u_{k}(A,\psi ,\mu t)

(3)

Aici sunt funcții vectoriale necunoscute și . și - schimbarea lent a amplitudinii și fazei, satisfăcând ecuațiile: $\psi =\omega t+\theta ,u1,u2,...$ $A,\psi$ $\mu t$ $A$ $\theta$

{\frac {dA}{dt}}=\mu f_{1}(A,\theta,\mu t)+\mu ^{2}f_{2}(A,\theta,\mu t )+...

(patru)

{\frac {d\theta {dt}}=\mu h_{1}(A,\theta,\mu t)+\mu ^{2}h_{2}(A,\theta,\ mu t)+...

(5)

Calculați derivata ca o serie de , pe baza expresiilor (3, 4, 5): ${\punct {x}}$ $\mu$

{\dot {x}}=i\omega AVe^{i\psi }+\mu \left[f_{1}Ve^{i\psi }+iAh_{1}Ve^{i\psi } +\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}\right]+\mu ^{2}\left[f_{2}Ve^{i\psi }+iAh_{2} Ve^{i\psi }+{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A} }+h_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}\right]+. ..

(6)

Reprezentăm, de asemenea, partea neliniară a ecuației (1) ca o serie într-un parametru mic:

\mu F(x,\mu,t)=\mu F_{1}+\mu ^{2}F_{2}+...

(7)

Unde $F_{1}=F(x_{0},0,t),F_{2}={\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial x}}u_ {1}+{\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial \mu )),...$

Echivalând în părțile stânga și dreaptă ale ecuației (1) termeni cu aceleași puteri ale parametrului mic , obținem un sistem de ecuații pentru determinarea funcțiilor necunoscute din ecuația (3): $\mu$ $u_{j)$

\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+Gu_{1}=-f_{1}Ve^{i\psi }-iAh_{1}Ve^{i \psi }+F_{1}

(opt)

\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}+Gu_{2}=-f_{2}Ve^{i\psi }-iAh_{2}Ve^{i \psi }-{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)))-f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A}}-h_{ 1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+F_{2}

(9)

...

Să extindem funcțiile vectoriale în serii Fourier cu coeficienți care variază lent: $u_{j},F_{j}$

u_{j}(A,\psi,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }U_{j}^{(m)}(A,\theta,\ mu t)e^{im\psi }

(zece)

F_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }F_{j}^{(m)}(A,\theta,\ mu t)e^{im\psi }

(unsprezece)

Apoi, înlocuim (10), (11) în (8), (9) și echivalând coeficienții pentru fiecare armonică din ambele părți ale ecuației, obținem un sistem de ecuații neomogene în raport cu . $U_{j}^{(m))$

Pentru a obține ecuațiile primei aproximații din (8), (10), (11), compunem o ecuație pentru determinarea funcției vectoriale ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$

(G+im\omega E)U_{1}^{(m)}=-(f_{1}+iAh_{1})\delta _{m1}V+F_{1}^{(m )}

(12)

Condiția de compatibilitate pentru sistemul (12) la are forma: $m=1$

: (13)

-f_{1}CV-iAh_{1}CV+CF_{1}^{(1)}=0

Separând părțile reale și imaginare în (13), găsim:

f_{1}(A,\theta,\mu t)=Re\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk))}\sum _ {k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]

(paisprezece)

h_{1}(A,\theta,\mu t)={\frac {1}{A}}Sunt\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n }c_{kk}}}\sum _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\dreapta]

(cincisprezece)

În a doua aproximare, găsim mai întâi din sistemul de ecuații (12) vectorii . Având în vedere că la , vectorul este determinat până la o constantă arbitrară, acesta poate fi reprezentat ca: ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$ $m=1$ ${\displaystyle U_{1}^{(1)))$

U_{1}^{(1)}=AV^{(1))

(16)

Apoi înlocuim seria (10), (11) în sistemul de ecuații (9). Ținând cont de (16), obținem:

(G+im\omega E)U_{2}^{(m)}=-\left[(f_{2}+iAh_{2})V^{(1)}+(f_{1} +iAh_{1})V^{(1)}+A\left({\frac {\partial V^{(1))){\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\partial V^{(1))){\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial V^{(1))){\partial \theta }}\right)\right]\ delta _{m1}-\left[{\frac {\partial U_{1}^{(m))){\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\partial U_{1 }^{(m)}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial U_{1}^{(m))){\partial \theta }}+imh_{1}U_{ 1}^{(m)}\right](1-\delta _{m1})+F_{}^{}

(17)

Din condiția de compatibilitate pentru sistemul de ecuații (17) la , putem determina și . Termenii celei de-a treia aproximări și cele mai mari se găsesc în mod similar. Ca rezultat, obținem o expresie pentru vectorul de stare a sistemului x $m=1$ $f_{2)$ $h_{2)$

x=A\left[V+\mu V^{(1)}(A,\theta,\mu t)+\mu ^{2}V^{(2)}(A,\theta,\ mu t)+...\right]e^{i\psi }+...

(optsprezece)

Aici, amplitudinea și faza satisfac ecuațiile (4), (5). $A$ $\theta$

Vezi și

Metoda parametrilor mici

Note

↑ Gulieev, 1989 , p. 102.

Literatură

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. ,. Teoria vibrațiilor. — M .: Nauka, 1981.
Bogolyubov N. N. , Mitropolsky Yu. A .,. Metode asimptotice în teoria oscilațiilor neliniare. — M .: Nauka, 1963.
Gulyaev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L. ,. Probleme aplicate ale teoriei oscilațiilor neliniare ale sistemelor mecanice. - M . : Şcoala superioară, 1989. - 383 p. - ISBN 5-06-000091-5 .