Excerciază

Excercul unui triunghi este un cerc tangent la o latură a triunghiului și prelungirile celorlalte două laturi. Orice triunghi are trei excercuri (spre deosebire de un singur incerc ).

Existența și unicitatea unui excerc se datorează faptului că bisectoarele a două unghiuri externe ale unui triunghi și bisectoarea unui unghi intern care nu este adiacent acestor două se intersectează într-un punct, care este centrul unui astfel de cerc.

Proprietăți

Aici se folosește următoarea notație: - razele excercurilor cu centrele , respectiv tangente la laturile triunghiului; - semi- perimetrul triunghiului; - raza cercului înscris ; este raza cercului circumscris . $r_{a},r_{b},r_{c)$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$ $p$ $r$ $R$

Lungimea segmentului tangentei trasat la excercul de la vârful opus este egală cu semiperimetrul triunghiului.
Aria unui triunghi este ultima egalitate după formula lui Heron . [unu] $S=r_{a}(pa)=r_{b}(pb)=r_{c}(pc)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}} ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}},$
${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}$
$4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r$
Triunghiul original este ortotriunghiul pentru triunghi $\Delta I_{1}I_{2}I_{3)$
coordonate baricentrice $J_{A}=(-a,b,c)$
Teorema lui Euler pentru excercuri: , unde O este centrul cercului circumscris. $OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i)$
$r_{a}r_{b}=p(pc);rr_{a}=(pb)(buc)$
Centrul radical al excercurilor este centrul Spieker (centrul cercului înscris al triunghiului median).
Centrele cercurilor înscrise și ale cercurilor sunt punctele fixe ale conjugării izogonale .
Centrul cercului care trece prin centrele excercurilor este punctul Bevan .
Cele trei centre ale celor trei cercuri ale unui triunghi dat formează un triunghi cu trei bisectoare externe .
Trei perpendiculare pe laturile unui triunghi, desenate în punctele lor de intersecție cu trei cercuri, se intersectează într-un punct (o consecință a teoremelor asupra vârfurilor unui triunghi subdermic [2] ).
Pe o linie dreaptă care trece prin punctele de contact a două cercuri ale unui triunghi cu laturile sale, aceste cercuri decupează segmente egale.
Acesta din urmă poate fi formulat după cum urmează. Dacă 2 cercuri ale unui triunghi ating 2 dintre laturile sale diferite și 2 din prelungirile lor în 4 puncte tangente, atunci patrulaterul format din ultimele 4 puncte ca vârfuri este un trapez isoscel cu 2 laturi laterale egale și, de asemenea, 2 diagonale (tangent la 2 cercuri).

Notă

În literatura engleză, 4 centre a 4 cercuri: 1 înscris și 3 excercuri cu centre, respectiv , atingând respectiv 3 laturi diferite ale triunghiului sau prelungirile acestora, sunt numite 4 centre tritangenți ale triunghiului ( centrii tritangenți ) [3] . Există multe teoreme despre 4 centre cu trei tangente ale unui triunghi : ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$
Cele 4 centre de trei tangente ale triunghiului formează un sistem ortocentric de puncte .
Cele 4 centre de trei tangente ale triunghiului se află pe bisectoarele interioare ale triunghiului sau pe prelungirile lor. În același timp, 2 centri tri-tangente împart armonic bisectoarea pe care se află și pe continuarea acesteia. [4] . Adică patru armonic este format din 4 puncte: , unde este baza bisectoarei interioare trasă din vârful unghiului triunghiului . $A,I,A',J_{A}$ $A'$ $A$ $ABC$
Punctul Feuerbach pentru un dat înscris sau excerc (cerc cu trei tangente - în engleză „un cerc tritangent”) este punctul de intersecție a 2 linii Simson , construite pentru capetele diametrului cercului circumferitor care trece prin centrul corespunzător al inscripției. sau încercuiește. Astfel, punctele Feuerbach pot fi construite fără a folosi cercul sau excercul corespunzător și cercul Euler tangent la acesta [5] .

Construcția cercului unui triunghi

Pentru a construi cercul unui triunghi, aveți nevoie de [6] :

Construiți colțuri externe pentru colțurile unui triunghi
Desenați bisectoarele unghiurilor externe construite până la punctul de intersecție. Punctul de intersecție al bisectoarelor va fi centrul excercului.
Construiți raza cercului. Pentru a face acest lucru, trageți o perpendiculară de la punctul de intersecție al bisectoarelor până la continuarea uneia dintre laturi.
Desenați un cerc centrat în punctul de intersecție al bisectoarelor și cu o rază egală cu lungimea perpendicularei construite.

Cercul unui patrulater

Patrulaterul necircumscris

Un patrulater necircumscris este un patrulater convex ale cărui prelungiri ale tuturor celor patru laturi sunt tangente la cerc (în afara patrulaterului) [7] . Cercul se numește excerc . Centrul cercului se află la intersecția a șase bisectoare.
Observație . Înscris , circumscris , precum și excerc nu pot fi desenate pentru fiecare patrulater. Dacă laturile opuse ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctele E și F , atunci condiția pentru în afara descrierii acestuia este oricare dintre cele două condiții de mai jos:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Literatură

Geometrie după Kiselyov , §144.
Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 volume - M . : MTSNMO , 2004. - S. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0 .
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. O condiție ca un patrulater tangențial să fie și unul cordal // Comunicații matematice. - 2007. - Emisiune. 12 .

Note

↑ Pathan, Alex și Tony Collyer, „Area properties of triangles revisited”, Mathematical Gazette 89, noiembrie 2005, 495-497.
↑ Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. Ediţia a II-a .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 137-138, p. 126, teorema.
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Centrii tritangenți. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arhivat 30 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §120. Teorema (Fig. 51). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arhivat 30 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Observație. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arhivat 30 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Excercuri. Clădire . Matvoks. Enciclopedia de matematică . mathvox.ru. Consultat la 6 noiembrie 2018. Arhivat din original pe 7 noiembrie 2018. (nedefinit)
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , p. 33-52.