Geometria lui Lobaciovski

Geometria Lobachevsky (sau geometria hiperbolică ) este una dintre geometriile non-euclidiene , o teorie geometrică bazată pe aceleași axiome de bază ca geometria euclidiană obișnuită , cu excepția axiomei liniilor paralele , care este înlocuită de negația sa .

Axioma euclidiană despre paralele (mai precis, una dintre afirmațiile echivalente cu aceasta, în prezența altor axiome) poate fi formulată astfel:

Într -un plan care trece printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată , exact o dreaptă poate fi trasată paralelă cu dreapta dată.

În geometria Lobachevsky, se acceptă în schimb următoarea axiomă:

Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată trec cel puțin două drepte care se află cu dreapta dată în același plan și nu o intersectează.

Axioma lui Lobachevsky este o negație exactă a axiomei lui Euclid (dacă toate celelalte axiome sunt satisfăcute), deoarece nu trece nicio dreaptă printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, care se află cu o dreaptă dată în același plan și nu trece. nu o intersectează, este exclusă în virtutea altor axiome (axiome ale geometriei absolute ). Deci, de exemplu, geometria sferică și geometria lui Riemann , în care două drepte se intersectează și, prin urmare, nici axioma paralelă a lui Euclid și nici axioma lui Lobachevsky nu sunt compatibile cu geometria absolută.

Geometria lui Lobachevsky are aplicații extinse atât în matematică, cât și în fizică. Semnificația sa istorică și filozofică constă în faptul că, prin construcția sa, Lobaciovski a arătat posibilitatea unei geometrii diferite de euclidiană , ceea ce a marcat o nouă eră în dezvoltarea geometriei , matematicii și științei în general.

Istorie

Încercările de a demonstra postulatul al cincilea

Punctul de plecare al geometriei lui Lobaciovski a fost al cincilea postulat al lui Euclid, o axiomă echivalentă cu axioma paralelă . A fost pe lista de postulate din Elementele lui Euclid . Complexitatea relativă și neintuitivitatea formulării sale au evocat un sentiment al naturii sale secundare și au dat naștere unor încercări de a o deriva ca teoremă din restul postulatelor lui Euclid.

Printre mulți dintre cei care au încercat să demonstreze al cincilea postulat s-au numărat, în special, următorii oameni de știință proeminenți.

Matematicienii greci antici Ptolemeu ( secolul II ) și Proclu ( secolul V ) (bazat pe ipoteza unei distanțe finite între două paralele).
Ibn al-Haytham din Irak (sfârșitul secolului al X -lea - începutul secolului al XI- lea) (bazat pe presupunerea că capătul unei perpendiculare în mișcare pe o linie dreaptă descrie o linie dreaptă).
Matematicienii iranieni Omar Khayyam (a doua jumătate a secolului al XI -lea - începutul secolului al XII- lea) și Nasir ad-Din at-Tusi ( secolul al XIII-lea ) (bazat pe ipoteza că două linii convergente nu pot deveni divergente dacă sunt continuate fără încrucișare).
Prima încercare în Europa cunoscută de noi de a demonstra axioma paralelismului lui Euclid a fost propusă de Gersonides (alias Levi ben Gershom, secolul XIV ), care locuia în Provence (Franța ). Dovada lui s-a bazat pe afirmarea existenței unui dreptunghi [1] .
Matematicianul german Clavius (1574) [2] .
matematicienii italieni
- Cataldi (pentru prima dată în 1603 a publicat o lucrare dedicată în întregime problemei paralelelor).
- Borelli (1658) [3] .
Matematicianul englez Wallis (1663, publicat în 1693) (bazat pe presupunerea că pentru fiecare cifră există o cifră similară, dar nu egală).
Matematicianul francez Legendre (1800) (bazat pe presupunerea că prin fiecare punct din interiorul unui unghi ascuțit se poate trage o linie care intersectează ambele părți ale unghiului; a avut și alte încercări de demonstrație).

În aceste încercări de a demonstra postulatul al cincilea, matematicienii au introdus (în mod explicit sau implicit) o nouă afirmație care li s-a părut mai evidentă.

Au fost făcute încercări de a folosi dovezile prin contradicție:

matematicianul italian Saccheri ( 1733 ) (după ce a formulat o afirmație care contrazice postulatul, a dedus o serie de consecințe și, recunoscând greșit unele dintre ele ca fiind contradictorii, a considerat postulatul dovedit),
Matematicianul german Lambert (circa 1766 , publicat în 1786 ) ( după ce a efectuat cercetări , a recunoscut că nu a putut găsi contradicții în sistemul pe care l-a construit).

În cele din urmă, a început să se înțeleagă că este posibil să se construiască o teorie bazată pe postulatul opus:

Matematicienii germani Schweikart ( 1818 ) și Taurinus ( 1825 ).
Matematicianul german Carl Friedrich Gauss

Crearea geometriei non-euclidiene

Lobachevsky, în On the Principles of Geometry ( 1829 ), prima sa lucrare tipărită despre geometria non-euclidiană, a afirmat clar că al cincilea postulat nu poate fi dovedit pe baza altor premise ale geometriei euclidiene și că presupunerea unui postulat opus Postulatul lui Euclid permite să construim o geometrie atât de semnificativă și lipsită de contradicții, precum și euclidiană.

Simultan și independent, Janos Bolyai a ajuns la concluzii similare , iar Carl Friedrich Gauss a ajuns la astfel de concluzii chiar mai devreme. Cu toate acestea, opera lui Bolyai nu a atras atenția, iar el a abandonat curând subiectul, în timp ce Gauss s-a abținut în general de la publicare, iar opiniile sale pot fi judecate doar din câteva scrisori și înregistrări din jurnal [4] . De exemplu, într-o scrisoare din 1846 către astronomul G. H. Schumacher , Gauss a vorbit despre opera lui Lobachevsky în felul următor:

Această lucrare conține fundamentele geometriei care ar trebui să aibă loc și, în plus, ar constitui un întreg strict consistent, dacă geometria euclidiană nu ar fi adevărată... Lobaciovski o numește „geometrie imaginară”; Știți că timp de 54 de ani (din 1792 ) am împărtășit aceleași opinii cu o anumită dezvoltare a acestora, pe care nu vreau să le menționez aici; astfel, nu am găsit nimic cu adevărat nou pentru mine în opera lui Lobaciovski. Dar în dezvoltarea subiectului, autorul nu a urmat drumul pe care eu însumi l-am urmat; este realizat cu măiestrie de Lobaciovski într-un spirit cu adevărat geometric. Mă consider obligat să vă atrag atenția asupra acestei lucrări, care vă va oferi cu siguranță o plăcere cu totul excepțională. [5]

Drept urmare, Lobaciovski a acționat ca primul propagandist cel mai strălucitor și mai consistent al noii geometrii. Deși geometria lui Lobaciovski s-a dezvoltat ca o teorie speculativă, iar Lobaciovski însuși a numit-o „geometrie imaginară”, cu toate acestea, el a fost primul care a propus-o în mod deschis nu ca un joc al minții, ci ca o teorie posibilă și utilă a relațiilor spațiale. Dovada consecvenței sale a fost însă dată mai târziu, când au fost indicate interpretările (modelele) ale acestuia.

Enunțul geometriei lui Lobaciovski

Lobaciovski a murit în 1856 . Câțiva ani mai târziu, a fost publicată corespondența lui Gauss, inclusiv câteva recenzii încântătoare ale geometriei lui Lobaciovski, iar acest lucru a atras atenția asupra lucrării lui Lobaciovski. Apar traducerile lor în franceză și italiană, comentarii ale unor geometri proeminenți. Lucrarea lui Bolyai este de asemenea publicată .

În 1868 , Beltrami a publicat un articol despre interpretările geometriei lui Lobaciovski. Beltrami a determinat metrica planului Lobachevsky și a demonstrat că are peste tot o curbură negativă constantă. [6] O astfel de suprafață era deja cunoscută atunci - aceasta este pseudosfera Minding . Beltrami a concluzionat că planul Lobachevsky este izometric local pentru o porțiune a pseudosferei (vezi mai jos). În același articol, Beltrami oferă și două modele, numite acum modelul Klein și modelul Poincaré .

În aceste lucrări, Beltrami a dat o dovadă geometrică clară a consistenței noii geometrii, mai precis, că geometria lui Lobachevsky este inconsecventă dacă și numai dacă geometria lui Euclid este inconsistentă. Lobachevsky a avut și o astfel de dovadă, dar era mai complicat, într-o direcție modelul plan euclidian din geometria lui Lobaciovsky, a fost construit folosind modelul, ca la Beltrami, [7] mergea analitic în cealaltă direcție.

Weierstrass dedică un seminar special geometriei lui Lobachevsky la Universitatea din Berlin ( 1870 ). Societatea de Fizică și Matematică din Kazan organizează publicarea lucrărilor complete ale lui Lobaciovski, iar în 1893 se sărbătorește la scară internațională centenarul matematicianului rus.

Modele

Modelele geometriei lui Lobaciovski au dat dovada consistenței acesteia, mai precis au arătat că geometria lui Lobaciovski este la fel de consistentă ca geometria lui Euclid.

Lobaciovski însuși a dat bazele geometriei sale analitice și, făcând acest lucru, a conturat de fapt un astfel de model. De asemenea, a observat că horosfera din spațiul Lobachevsky este izometrică față de planul euclidian, propunând astfel un model invers. Cu toate acestea, însăși noțiunea de model a fost clarificată în lucrările lui Beltrami și alții.

Pseudosferă

Matematicianul italian Eugenio Beltrami a observat în 1868 că geometria unei bucăți din planul Lobachevsky este aceeași cu geometria suprafețelor cu curbură negativă constantă, cel mai simplu exemplu fiind pseudosfera . Dacă punctele și liniile drepte de pe o bucată finită a planului Lobachevsky sunt asociate cu puncte și cele mai scurte linii ( geodezice ) pe pseudosferă și mișcarea în planul Lobachevsky este asociată cu mișcarea unei figuri de-a lungul pseudosferei cu îndoire, adică cu o deformare care păstrează lungimea, atunci orice teoremă a geometriei Lobachevsky va corespunde faptului că pe pseudosferă. În același timp, lungimile, unghiurile, zonele sunt înțelese în sensul măsurării lor naturale pe o pseudosferă.

Cu toate acestea, aici este dată doar o interpretare locală a geometriei, adică pe o zonă limitată, și nu pe întregul plan Lobachevsky. Suprafața Dini oferă un model similar - este o imersiune izometrică a unei regiuni din planul Lobachevsky delimitată de un horociclu .

Modelul proiectiv

Modelul avionului Lobachevsky, propus pentru prima dată de Beltrami.

Planul este interiorul cercului, linia dreaptă este coarda cercului fără capete, iar punctul este punctul din interiorul cercului. „Mișcarea” este orice transformare a unui cerc în sine, care traduce acordurile în acorduri. În consecință, cifrele din interiorul cercului sunt numite egale, care sunt traduse unele în altele prin astfel de transformări. Apoi se dovedește că orice fapt geometric descris într-un astfel de limbaj reprezintă o teoremă sau o axiomă a geometriei lui Lobaciovski. Cu alte cuvinte, orice afirmație a geometriei lui Lobachevsky pe plan nu este altceva decât o afirmație a geometriei euclidiene, referindu-se la figurile din interiorul cercului, doar repovestirea în termenii indicați. Axioma euclidiană despre paralele nu este în mod clar îndeplinită aici, deoarece printr-un punct care nu se află pe o coardă dată a (adică „linie dreaptă”), trec orice număr de acorduri („linii drepte”) care nu se intersectează. it (de exemplu, , ). $P$ $b$ $b'$

În acest model, distanța dintre puncte și pe o coardă este determinată prin relația dublă $A$ $B$ $NM$

\ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\dreapta)

În absolutul exterior se realizează geometria spațiului anti-de Sitter .

Model euclidian conform, model Poincaré

Un alt model de avion Lobachevsky propus de Beltrami.

Interiorul unui cerc este considerat planul Lobachevsky, arcurile de cerc perpendiculare pe circumferința cercului dat și diametrele acestuia sunt considerate drepte, mișcările sunt transformări obținute prin combinații de inversiuni față de cerc, ale căror arcuri servesc drept linii drepte.

Modelul Poincaré este remarcabil prin faptul că în el unghiurile sunt reprezentate prin unghiuri obișnuite.

Model pe un hiperboloid în spațiul Minkowski

În spațiul de semnătură, luați în considerare un hiperboloid cu două foi . Să alegem partea de sus a componentelor . Rețineți că această componentă este asemănătoare spațiului. În special, forma pătratică definește o metrică pe ea; cu această metrică, componenta superioară este un model al planului Lobachevsky. $(+,+,-)$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$ $t>0$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$

Liniile drepte (cu alte cuvinte geodezice ) în acest model sunt secțiuni ale hiperboloidului prin planuri care trec prin origine.

O proiecție în perspectivă pe un plan orizontal centrat la origine traduce acest model într-un model proiectiv. O proiecție în perspectivă pe un plan orizontal centrat într-un punct traduce acest model într-unul conform euclidian. $(0,0,-1)$

O suprafață cu curbură negativă constantă

O altă definiție analitică a geometriei lui Lobachevsky este aceea că geometria lui Lobachevsky este definită ca geometria unui spațiu riemannian de curbură negativă constantă. Această definiție a fost de fapt dată încă din 1854 de către Riemann și a inclus un model al geometriei lui Lobachevsky ca geometrie pe suprafețe cu curbură constantă. Cu toate acestea, Riemann nu a conectat direct construcțiile sale cu geometria lui Lobachevsky, iar raportul său, în care le-a raportat, nu a fost înțeles și a fost publicat abia după moartea sa (în 1868 ).

Un exemplu de astfel de suprafață este o sferă cu rază imaginară

({\vec {x)),{\vec {x)})=-1

x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

în spațiul Minkowski . Vezi secțiunea Model pe un hiperboloid .

Conținutul geometriei lui Lobaciovski

Lobaciovski și-a construit geometria, pornind de la conceptele geometrice de bază și de la axioma sa și a demonstrat teoremele printr-o metodă geometrică, similară modului în care se face în geometria lui Euclid. Teoria liniilor paralele a servit drept bază, deoarece aici începe diferența dintre geometria lui Lobachevsky și geometria lui Euclid. Toate teoremele care nu depind de axioma paralelă sunt comune ambelor geometrii; ele formează așa-numita geometrie absolută , care include, de exemplu, semne ale egalității triunghiurilor. În urma teoriei paralelelor s-au construit și alte secțiuni, inclusiv trigonometria și principiile geometriei analitice și diferențiale .

Să prezentăm (în notație modernă) câteva fapte ale geometriei lui Lobaciovski care o deosebesc de geometria lui Euclid și au fost stabilite de însuși Lobaciovski.

Printr-un punct P care nu se află pe o dreaptă R dată (vezi figura), există infinit de drepte care nu se intersectează pe R și sunt în același plan cu acesta; printre ele există două extreme x , y , care se numesc paralele asimptotic (uneori doar paralele) cu dreapta R , iar restul sunt numite ultraparalele .

Unghiul dintre perpendiculara PB de la P la R și fiecare dintre cele paralele asimptotic (numit unghi de paralelism ) scade de la 90° la 0° pe măsură ce punctul P se îndepărtează de linie (în modelul Poincare, unghiurile din sensul obișnuit coincide cu unghiurile în sensul lui Lobachevsky și, prin urmare, pe acest fapt poate fi văzut direct). Pe de o parte, paralela x pe de o parte (și y pe partea opusă) se apropie asimptotic de a , iar pe de altă parte, se îndepărtează infinit de acesta (distanțele sunt greu de determinat în modele și, prin urmare, acest fapt este nu este vizibil direct). $\theta$

Pentru un punct situat la o distanță PB = a de o dreaptă dată (vezi figura), Lobaciovski a dat o formulă pentru unghiul de paralelism П(a) [8] :

\theta =\Pi (a)=2\operatorname {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q))}

Aici q este o constantă legată de curbura spațiului Lobachevsky. Poate servi ca unitate absolută de lungime în același mod ca în geometria sferică raza sferei ocupă o poziție specială.

Dacă liniile au o perpendiculară comună, atunci sunt ultraparalele, adică diverg infinit pe ambele părți ale acesteia. La oricare dintre ele este posibil să se restabilească perpendiculare care nu ajung pe cealaltă linie.

În geometria lui Lobaciovski nu există triunghiuri asemănătoare, dar inegale; triunghiurile sunt congruente dacă unghiurile lor sunt egale.

Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică și poate fi în mod arbitrar aproape de zero (diferența dintre 180° și suma unghiurilor triunghiului ABC din geometria lui Lobachevsky este pozitivă - se numește defectul acestui triunghi). Acest lucru este direct vizibil în modelul Poincaré. Diferența , unde , , sunt unghiurile triunghiului, este proporțională cu aria sa: $\pi$ $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$ $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

S=q^{2}\cdot \delta

Din formula se poate observa că există o suprafață maximă a unui triunghi, iar acesta este un număr finit: . $\pi q^{2}$

O linie de distanțe egale față de o linie dreaptă nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită echidistant sau hiperciclu .

Limita cercurilor cu raza infinit crescătoare nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită cerc limită sau horociclu .

Limita sferelor cu raza infinit crescătoare nu este un plan, ci o suprafață specială - sfera limită sau horosfera ; este remarcabil că geometria euclidiană se menține. Acest lucru a servit lui Lobachevsky drept bază pentru derivarea formulelor de trigonometrie.

Circumferința nu este proporțională cu raza, dar crește mai repede. În special, în geometria Lobachevsky, numărul nu poate fi definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. $\pi$

Cu cât regiunea în spațiu sau în planul Lobachevsky este mai mică, cu atât relațiile geometrice din această regiune diferă mai puțin de relațiile geometriei euclidiene. Putem spune că într-o regiune infinitezimală are loc geometria euclidiană. De exemplu, cu cât triunghiul este mai mic, cu atât suma unghiurilor sale diferă mai puțin de ; cu cât este mai mic cercul, cu atât raportul dintre lungimea și raza diferă mai puțin de , etc. O scădere a ariei este echivalentă formal cu o creștere a unității de lungime, prin urmare, cu o creștere infinită a unității de lungime, Lobachevsky formulele de geometrie se transformă în formulele de geometrie euclidiană. Geometria euclidiană este în acest sens cazul „limitător” al geometriei lui Lobaciovski. $\pi$ $2\pi$

Umplerea planului și spațiului cu politopuri obișnuite

Planul Lobachevsky poate fi placat nu numai cu triunghiuri regulate , pătrate și hexagoane , ci și cu orice alte poligoane regulate . În același timp, la un vârf al parchetului trebuie să convergă cel puțin 7 triunghiuri, 5 pătrate, 4 cinci sau hexagoane sau 3 poligoane cu mai mult de 6 laturi, adică numărul diferitelor plăci este infinit și cu ajutorul ale simbolului Schläfli ( M piese N -goni) toate plăcile planului Lobachevsky pot fi scrise după cum urmează: $\left\{N,M\right\}$

{3, 7}, {3, 8}, …, adică {3, M }, unde M ≥7;
{4, 5}, {4, 6}, …, adică {4, M }, unde M ≥5;
{5, 4}, {5, 5}, …, adică {5, M }, unde M ≥4;
{6, 4}, {6, 5}, …, adică {6, M }, unde M ≥4;
{N, M}, unde N ≥7, M ≥3.

Fiecare placă necesită o dimensiune strict definită a unei unități N - gon, în special, aria sa trebuie să fie egală cu: $\left\{N,M\right\}$

S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\right)

Spre deosebire de spațiul obișnuit (spațiul euclidian tridimensional), care poate fi umplut cu poliedre regulate într-un singur mod (8 cuburi la un vârf, sau patru la o margine {4,3,4}), spațiul tridimensional al lui Lobaciovski poate fi placat cu poliedre regulate , precum și plat, într-un număr infinit de moduri. Folosind simbolul Schläfli ( M bucăți de N -goni converg la un vârf , iar P poliedre converg la fiecare muchie ), toate plăcile pot fi scrise după cum urmează: $\left\{N,M,P\right\}$

{3,3,6}, {3,3,7}, …, adică {3,3, P }, unde P ≥6;
{4,3,5}, {4,3,6}, …, adică {4,3, P }, unde P ≥5;
{3,4,4}, {3,4,5}, …, adică {3,4, P }, unde P ≥4;
{5,3,4}, {5,3,5}, …. Adică {5,3, P }, unde P ≥4;
{3,5,3}, {3,5,4}, …, adică {3,5, P }, unde P ≥3.

Politopii unor astfel de partiții pot avea volum infinit, cu excepția unui număr finit de partiții de spațiu în poliedre regulate cu volum finit:

{3,5,3} (trei icosaedre pe margine)
{4,3,5} (cinci cuburi pe margine)
{5,3,4} (patru dodecaedre pe muchie)
{5,3,5} (cinci dodecaedre pe muchie)

În plus, există 11 moduri de a umple spațiul Lobachevsky cu horosfere mozaice obișnuite ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, { 4,4, 3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3, 6,3}).

Aplicații

Lobaciovski era sigur că spațiul nostru real este euclidian. În caz contrar, paralaxa anuală a oricărei stele ar fi mai mare decât o anumită valoare, în funcție doar de curbura spațiului. Folosind paralaxele unor stele calculate la acel moment (care s-au dovedit a fi foarte inexacte), Lobaciovski a estimat că suma unghiurilor unui triunghi cu laturile aproximativ egale cu raza orbitei pământului diferă de 180 ° cu cel mult 0,00037 ″ (mai târziu A.P. Kotelnikov a arătat că în acest loc Lobaciovski a avut o eroare de două ordine de mărime sau o greșeală de tipar: datele sale arată că această diferență nu poate fi mai mare de 0,0000037 ″). Potrivit lui Lobachevsky, aceste calcule arată că geometria euclidiană descrie cu exactitate spațiul fizic [9] .
Lobaciovski însuși și-a aplicat teoria la calculul integralelor definite , interpretându-le ca expresii pentru lungimea, aria sau volumul figurilor din geometria sa. [zece]
În teoria funcțiilor unei variabile complexe, geometria lui Lobachevsky a ajutat la construirea teoriei funcțiilor automorfe . Legătura cu geometria lui Lobachevsky a fost aici punctul de plecare al cercetării lui Poincaré , care a scris că „geometria non-euclidiană este cheia rezolvării întregii probleme”. [11] [12]
S-a stabilit o legătură strânsă între geometria lui Lobachevsky și cinematica teoriei speciale (private) a relativității . Această legătură se bazează pe faptul că egalitatea exprimă legea de propagare a luminii

x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}

când este împărțit la , adică pentru viteza luminii, dă

t^{2}

v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}

- ecuația unei sfere în spațiu cu coordonatele , , - componente ale vitezei de-a lungul axelor x , y , z (în „spațiul vitezei”). Transformările Lorentz păstrează această sferă și, deoarece sunt liniare, transformă spațiile de viteză directă în linii drepte. Prin urmare, conform modelului Klein, în spațiul vitezelor din interiorul unei sfere cu raza c , adică pentru viteze mai mici decât viteza luminii, are loc geometria Lobachevsky. [unsprezece]

v_{x}

v_{y}

v_{z}

Folosind modelul Klein, se oferă o demonstrație foarte simplă și scurtă a teoremei fluturelui în geometria euclidiană.

Mituri

Există o concepție greșită larg răspândită (reflectată, în special, în literatura și folclor non-matematic) că în geometria lui Lobaciovsky „liniile paralele se intersectează” [13] [14] . Nu este adevarat. În primul rând, liniile paralele nu se pot intersecta (în nicio geometrie) după definiția paralelismului . În al doilea rând, în geometria lui Lobachevsky, este tocmai posibil să se tragă printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, infinit de drepte care nu se intersectează cu ea.

Vezi și

Note

↑ Rosenfeld B. A. Dovezi ale celui de-al cincilea postulat al lui Euclid de către matematicienii medievali Hassan ibn al-Khaytham și Leo Gersonides. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
↑ Clavius C. Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.
↑ Borelli GA Euclidus Restitutus. — Pisa, 1658.
↑ De obicei se spune că îi era frică să nu fie înțeles greșit. Într-adevăr, într-o scrisoare, care abordează problema celui de-al cincilea postulat și geometria non-euclidiană, Gauss scrie: „să fie frică de strigătul beoților „<...> Poate, totuși, o altă explicație a tăcerii lui Gauss: el a fost unul dintre puținii care au înțeles că, oricâte teoreme interesante de geometrie non-euclidiană nu au fost deduse, aceasta încă nu dovedește nimic - există întotdeauna o posibilitate teoretică ca o afirmație contradictorie să fie obținută ca consecințe ulterioare. Sau poate Gauss a înțeles (sau a simțit) că la acel moment (prima jumătate a secolului al XIX-lea) nu fuseseră încă găsite concepte matematice care să facă posibilă formularea și rezolvarea cu acuratețe a acestei probleme. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie, cap. XII, alin. 2, - Fizmatlit, Moscova, 2009.
↑ Despre bazele geometriei. O colecție de lucrări clasice despre geometria lui Lobaciovski și dezvoltarea ideilor sale. Moscova: Gostekhizdat, 1956, p. 119-120.
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Lobachevsky, N.I., Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. Berlin: F. Fincke, 1840; treizeci
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ed.) Matematica secolului al XIX-lea. Moscova: Nauka, volumul II, p. 62.
↑ Larisa I. Brylevskaya. Geometria lui Lobachevsky și cercetarea geometriei universului (engleză) // Publicații ale Observatorului Astronomic din Belgrad. - 2008. - Nr. 85 . - P. 129-134 . Arhivat din original pe 24 septembrie 2019.
↑ Kagan V.F. Lobaciovski . - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1948. - S. 238 -242.
↑ 1 2 Geometrie Lobaciovski // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ C.S. Yogananda. Poincaré și teoria funcțiilor automorfe // Rezonanța. - 2000. - V. 5 , nr. 2 . - S. 26-31 .
↑ Linii paralele - în mitologie, realitate și matematică Copie de arhivă din 20 aprilie 2010 la Wayback Machine Uspensky V. A. Apologia matematicii, capitolul 8.
↑ Descoperirea geometriei lui Lobaciovski a avut o mare influență asupra dezvoltării matematicii și asupra înțelegerii relației dintre matematică și lumea exterioară. Discuțiile care au apărut ca urmare a acestui fapt au influențat, aparent, opiniile multor cercetători umaniști. Din păcate, aici sunt mai degrabă fixate sub forma unei imagini artistice: opoziția dintre geometria „pământească” – euclidiană și „abstrus” – neeuclidian, inventată de matematicieni. Mai mult, diferența dintre aceste două geometrii se presupune că în prima, pe înțelesul tuturor, liniile paralele nu se intersectează, iar în a doua, care este greu de înțeles pentru mintea obișnuită, se intersectează. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie, cap. XII, p. 426, - Fizmatlit, Moscova, 2009.

Literatură

Lucrările fondatorilor

Lobachevsky NI Studii geometrice despre teoria dreptelor paralele // Kazan Bulletin. - Kazan: Universitatea Imperială Kazan, 1829-1830. - Nr. 25-29 .
Pe bazele geometriei. O colecție de lucrări clasice despre geometria lui Lobaciovski și dezvoltarea ideilor sale. Moscova: Gostekhizdat, 1956.

Literatura modernă

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometrie. - Moscova: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Ce este geometria non-euclidiană. — Moscova: URSS, 2007.
Delaunay BN O dovadă elementară a consistenței planimetriei lui Lobachevsky. - Moscova: Gostekhizdat , 1956.
Iovlev N. N. Introducere în geometria elementară și trigonometria lui Lobachevsky . - M. - L. : Giz., 1930. - S. 67.
Kadomtsev S. B. Geometria lui Lobachevsky și fizică. - Ed. al 3-lea. - M . : Casa de carte " LIBROKOM ", 2009. - 72 p.
Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Popov A. G. „Geometria lui Lobachevsky: descoperire și cale către modernitate” // Priroda . - 1993. - Nr 7 . - S. 19-27 .
S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, D. D. Sokolov Câteva întrebări ale geometriei lui Lobachevsky legate de fizică . — Rezultatele științei și tehnologiei. Ser. Probl. geom., 13, VINITI, M., 1982, 157-188.
Klein F. Geometrie non-euclidiană . - M. - L. : ONTI, 1936. - S. 356.
Popov A.G Suprafeţe pseudosferice // Jurnal Educaţional Soros . - ISSEP, 2004. - V. 8 , Nr. 2 . - S. 119-127 .
Popov AG Suprafeţe pseudo-sferice şi unele probleme de fizică matematică .
Rozenfeld B. A. Interpretări ale geometriei lui Lobachevsky // Studii istorice și matematice . - M. : GITTL, 1956. - Nr. 9 . - S. 169-208 .
Smogorzhevsky A. S. „Despre geometria lui Lobaciovski” // Prelegeri populare despre matematică . - Gostekhizdat, 1958. - T. 23 . - S. 68 .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. - Moscova: Fizmatlit , 2009.

Link -uri

Geometry of Lobachevsky Arhivat pe 7 decembrie 2021 la Wayback Machine

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 12065206h GND : 4161041-6 J9U : 987007565328305171 LCCN : sh85054149 LNB : 000142143 NKC : ph257174