Varianta unei variabile aleatoare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 8 aprilie 2021; verificările necesită 9 modificări .

Dispersia unei variabile aleatoare este o măsură a răspândirii valorilor unei variabile aleatoare în raport cu așteptările sale matematice . Desemnat în literatura rusă și ( varianță engleză ) în străinătate. În statistică, denumirea sau este adesea folosită . $D[X]$ $\operatorname {Var}(X)$ $\sigma _{X}^{2}$ $\displaystyle \sigma ^{2}$

Rădăcina pătrată a varianței, egală cu , se numește abatere standard , abatere standard sau spread standard. Abaterea standard este măsurată în aceleași unități ca și variabila aleatoare în sine, iar varianța este măsurată în pătratele acelei unități. $\displaystyle \sigma$

Din inegalitatea lui Chebyshev rezultă că probabilitatea ca valorile unei variabile aleatoare să difere de așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare cu mai mult decât abaterile standard este mai mică de . În cazuri speciale, scorul poate fi îmbunătățit. Deci, de exemplu, în cel puțin 95% din cazuri, valorile unei variabile aleatoare cu o distribuție normală sunt eliminate din medie cu cel mult două abateri standard, iar în aproximativ 99,7% - cu cel mult trei. $k$ $1/k^{2}$

Definiție

Dispersia unei variabile aleatoare se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.

Fie o variabilă aleatoare definită pe un spațiu de probabilitate . Atunci dispersia este $X$

D[X]=\mathbb {E} \left[{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}\right],

unde simbolul reprezintă valoarea așteptată [1] [2] . ${\mathbb {E}}$

Note

Dacă variabila aleatoare este discretă , atunci $X$ $D[X]=\sum _{i=1}^{n}{p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} [X])^{2)),$ $D[X]={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{p_{i}p_{j }(x_{i}-x_{j})^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}{p_{i}p_ {j}(x_{i}-x_{j})^{2}},$

unde este -a valoare a variabilei aleatoare, este probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valoarea , este numărul de valori pe care le ia variabila aleatoare. $x_{i}$ $i$ $p_{i}=P(X=x_{i})$ $x_{i}$ $n$

Dovada celei de-a doua formule

Fie o variabilă aleatorie independentă de dar cu aceeași distribuție. Apoi , , și $Y$ $X$ $P(Y=x_{i})=p_{i}$ $\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X]$ $D[Y]=D[X]$

D[XY]=D[X]+D[Y]=2D[X]

D[XY]=\mathbb {E} [(XY)^{2}]-\mathbb {E} [XY]^{2}=\mathbb {E} [(XY)^{2}] =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}

Comparând aceste două formule, obținem egalitatea dorită.

Dacă variabila aleatoare este continuă , atunci: $X$ $D[X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx)$ $D[X]={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty } (x_{2}-x_{1})^{2}{f(x_{1})f(x_{2})dx_{1}dx_{2}}$ ,

unde este densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare. $f(x)$

Datorită liniarității așteptărilor matematice, formula este valabilă: $D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}$
Dispersia este al doilea moment central al variabilei aleatoare.
Dispersia poate fi infinită.
Varianta poate fi calculată folosind funcția generatoare de moment : $U(t)$ $D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}=U''(0)-\left( U'(0)\dreapta)^{2}.$
Varianta unei variabile aleatoare întregi poate fi calculată folosind funcția de generare a secvenței .
Formula pentru calcularea estimării părtinitoare a varianței unei variabile aleatoare asupra succesiunii de realizări a acestei variabile aleatoare: are forma: $X$ $X_{1}...X_{n}$ ${\overline {S}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X }})^{2}$ , unde este media eșantionului (estimare imparțială ). ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ $\mathbb {E} [X]$

Pentru a obține o estimare imparțială a varianței unei variabile aleatoare, valoarea trebuie înmulțită cu . Estimarea imparțială are forma:

{\overline {S}}^{2}

{\frac {n}{n-1))

{\widetilde {S}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}

Proprietăți

Varianta oricărei variabile aleatoare este nenegativă: $D[X]\geqslant 0;$
Dacă varianța unei variabile aleatoare este finită, atunci așteptarea ei matematică este, de asemenea, finită;
Dacă o variabilă aleatoare este egală cu o constantă, atunci varianța ei este zero: Este adevărat și invers: dacă atunci aproape peste tot . $D[a]=0.$ $D[X]=0,$ $X=\mathbb {E} [X]$
Varianta sumei a doua variabile aleatoare este: $D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov))(X,Y)$ , unde este covarianța lor . ${\text{cov}}(X,Y)$
Pentru varianța unei combinații liniare arbitrare a mai multor variabile aleatoare, egalitatea are loc: $D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2 }D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov))(X_{i},X_{j })$ , unde . $c_{i}\în \mathbb{R}$
În special, pentru orice variabile aleatoare independente sau necorelate , deoarece covarianțele lor sunt egale cu zero. $D[X_{1}+\ldots +X_{n}]=D[X_{1}]+\ldots +D[X_{n}]$
$D\left[aX\right]=a^{2}D[X]$
$D\left[-X\right]=D[X]$
$D\left[X+b\right]=D[X]$
Dacă este o variabilă aleatoare dintr-o pereche de evenimente elementare (o variabilă aleatoare pe produsul cartezian al spațiilor de probabilitate), atunci $X=X(\omega ,\tau )$ $D_{(\omega ,\tau )}[X]=\mathbb {E} _{\omega }[D_{\tau }[X]]+D_{\omega }[\mathbb {E} _ {\tau }[X]]$

Varianta condiționată

Alături de așteptarea matematică condiționată , teoria proceselor aleatoare folosește varianța condiționată a variabilelor aleatoare . $\mathbb {E} [X|Y]$ $D[X|Y]$

Varianta condiționată a unei variabile aleatoare în raport cu o variabilă aleatoare este o variabilă aleatoare $X$ $Y$

D[X|Y]=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X|Y])^{2}|Y]=\mathbb {E} [X^{2}| Y]-\mathbb {E} [X|Y]^{2}

Proprietățile sale:

Varianta condiționată față de o variabilă aleatoare este o variabilă aleatoare măsurabilă în Y (adică este măsurabilă în raport cu algebra sigma generată de variabila aleatoare ); $Y$ $Y$
Varianta condițională este nenegativă: ; $D[X|Y]\geqslant 0$
Varianța condiționată este egală cu zero dacă și numai dacă aproape sigur, adică dacă și numai dacă coincide aproape sigur cu o cantitate măsurabilă Y (și anume, cu ); $D[X|Y]$ $X=\mathbb {E} [X|Y]$ $X$ $\mathbb {E} [X|Y]$
Varianta obișnuită poate fi reprezentată și ca condiționată: ; $D[X]=D[X|1]$
Dacă mărimile și sunt independente, variabila aleatoare este o constantă egală cu . $X$ $Y$ $D[X|Y]$ $D[X]$
Dacă sunt două variabile numerice aleatorii, atunci $X Y$ $D[X]=\mathbb {E} [D[X|Y]]+D[\mathbb {E} [X|Y]],$

de unde, în special, rezultă că varianța așteptării condiționale este întotdeauna mai mică sau egală cu varianța variabilei aleatoare inițiale .

\mathbb {E} [X|Y]

X

Exemplu

Fie ca o variabilă aleatorie să aibă o distribuție uniformă standard continuă pe , adică densitatea sa de probabilitate este dată de egalitatea $\displaystyle X$ $\displaystyle [0,1]$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\nu \in [0,1].\end{matrix}}\ dreapta.

Atunci așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare este

\mathbb {E} \left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac { x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}}

iar așteptarea matematică a variabilei aleatoare este

\mathbb {E} \left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2 }}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}

Varianta variabilei aleatoare este

D[X]=\mathbb {E} \left[X^{2}\right]-(\mathbb {E} [X])^{2}={\frac {1}{3)} -\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}

Vezi și

Note

↑ Kolmogorov A. N. Capitolul IV. Aşteptări matematice; §3. Inegalitatea lui Cebyshev // Concepte de bază ale teoriei probabilităților. - Ed. a II-a. - M . : Nauka, 1974. - S. 63-65. — 120 s.
↑ Borovkov A. A. Capitolul 4. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare; §5. Dispersia // Teoria probabilității. - a 5-a ed. - M. : Librokom, 2009. - S. 93-94. — 656 p.

Literatură

Gursky D., Turbina E. Mathcad pentru elevi și școlari. Tutorial popular . - Sankt Petersburg. : Peter, 2005. - S. 340. - ISBN 5469005259 .
Orlov AI Dispersia unei variabile aleatoare // Matematica cazului: Probabilitate și statistică - fapte de bază. — M. : MZ-Press, 2004.