Karatsuba, Anatoly Alekseevici

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 31 decembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Karatsuba Anatoly Alekseevici

Data nașterii

31 ianuarie 1937

Locul nașterii

Grozny

Data mortii

28 septembrie 2008 (în vârstă de 71 de ani)

Un loc al morții

Moscova , Rusia

Țară

URSS , Rusia

Sfera științifică

matematica

Loc de munca

MIAN , Universitatea de Stat din Moscova

Alma Mater

Universitatea de Stat din Moscova (Mekhmat)

Grad academic

Doctor în Științe Fizice și Matematice

consilier științific

Korobov N.M.

Elevi

Voronin S. M. , Chubarikov V. N. ,

Arkhipov G.I.

Premii și premii

Premiu pentru ei. P. L. Cebyshev Academia de Științe a URSS

Premiu pentru ei. I. M. Vinogradov RAS

Fișiere media la Wikimedia Commons

Anatoly Alekseevich Karatsuba (31 ianuarie 1937 , Grozny - 28 septembrie 2008 , Moscova) - matematician sovietic și rus . Creatorul primei metode rapide din istoria matematicii - metoda de înmulțire a numerelor mari [1] [2] ( înmulțirea Karatsuba ).

Studiu și muncă

Anatoly Karatsuba a studiat în 1944-1954 la școala secundară de bărbați nr. 6 din orașul Grozny și a absolvit cu o medalie de argint. Deja în primii săi ani, a dat dovadă de abilități excepționale pentru matematică, rezolvând probleme din clasele inferioare care erau date elevilor de liceu într-un cerc matematic.

În 1959 a absolvit Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova. Lomonosov . În 1962, a devenit candidat la științe fizice și matematice cu teza „Sume trigonometrice raționale de o formă specială și aplicațiile lor” (supervizor - N. M. Korobov ) și a început să lucreze la facultate de la Universitatea de Stat din Moscova. În 1966 și-a susținut teza de doctorat „Metoda sumelor trigonometrice și teoremelor valorii medii” și a devenit cercetător la Institutul de Matematică al Academiei de Științe a URSS (MIAN).

Din 1983, este un specialist de top în domeniul teoriei numerelor în URSS și Rusia și șef al Departamentului de Teoria numerelor (înființat în 1983 ) la Institutul de Realizări din Moscova, profesor al Departamentului de Teoria numerelor din Moscova. Universitatea de Stat din 1970 și profesor al Departamentului de Analiză Matematică a Universității de Stat din Moscova (înființată în 1962 ) din 1980 . Interesele sale de cercetare au inclus sume și integrale trigonometrice , funcția zeta Riemann , caractere Dirichlet , mașină de stări , algoritmi eficienți .

A.A. Karatsuba a supravegheat 15 doctoranzi; șapte dintre ei au devenit ulterior doctori în științe. Are premii și titluri de stat.

Premii și titluri

1981 : Premiul P. L. Cebyshev al Academiei de Științe a URSS
4 iunie 1999 : om de știință onorat al Federației Ruse
2001 : Premiul I. M. Vinogradov al Academiei Ruse de Științe

Lucrări timpurii în informatică

Ca student la Universitatea de Stat din Moscova. Lomonosov, A. A. Karatsuba a luat parte la lucrările seminarului lui A. N. Kolmogorov și au găsit soluții la două probleme puse de Kolmogorov, care au dat impuls dezvoltării teoriei automatelor și au marcat începutul unei noi direcții în matematică - teoria algoritmilor rapizi .

Automate

În articolul lui Edward Moore „Speculative Experiments on Sequential Machines” [3] , un automat (sau mașină) este definit ca un dispozitiv având stări, simboluri de intrare și simboluri de ieșire. Demonstrăm nouă teoreme despre structură și experimentăm cu . Astfel de mașini au devenit ulterior cunoscute sub numele de automate Moore . La finalul articolului, la capitolul „Noi probleme”, Moore formulează problema îmbunătățirii estimărilor obținute de el în Teoremele 8 și 9: $(n;m;p)$ $S$ $n$ $m$ $p$ $S$ $S$ $S$

Teorema 8 (Moore). Să fie dată o mașină arbitrară , astfel încât fiecare dintre stările sale să se distingă una de alta, atunci există un experiment de lungime care stabilește (găsește) starea la sfârșitul acestui experiment.

(n;m;p)

S

n(n-1)/2

S

În 1957, Karatsuba a demonstrat două teoreme care au rezolvat complet problema lui Moore de îmbunătățire a estimării duratei unui experiment în Teorema sa 8 .

Teorema A (Karatsuba). Dacă există o mașină, din care fiecare două stări se pot distinge una de cealaltă, atunci există un experiment ramificat de lungime nu mai mare de , prin intermediul căruia este posibil să se stabilească (găsește) starea la sfârșitul experimentului.

S

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

S

Teorema B (Karatsuba). Există o mașină, din care fiecare două stări se pot distinge reciproc, astfel încât lungimea celui mai scurt experiment care stabilește starea mașinii la sfârșitul experimentului este .

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

Aceste două teoreme au stat la baza lucrării de anul 4 a lui Karatsuba „Despre o problemă în teoria automatelor”, care a primit o recenzie lăudabilă (adică nu foarte înaltă) la concursul lucrărilor studenților din cadrul Facultății de Mecanică și Matematică. de la Universitatea de Stat din Moscova. Lomonosov în 1958 . Articolul a fost transmis de Karatsuba lui Uspekhi matematicheskikh nauk în decembrie 1958 și a fost publicat abia în iunie 1960 [4] . Cu toate acestea, până acum acest rezultat al lui Karatsuba, care mai târziu a devenit cunoscut sub numele de teorema Moore-Karatsuba, este singurul rezultat neliniar exact (singura ordine exactă de evaluare neliniară) atât în teoria automatelor, cât și în probleme similare din teorie. de complexitate computaţională. [unu]

Algoritmi rapidi

Algoritmi rapizi este o ramură a matematicii computaționale care studiază algoritmii pentru calcularea unei anumite funcții cu o precizie dată folosind cât mai puține operații pe biți. Vom presupune că numerele sunt scrise în sistemul de numere binar, semnele cărora 0 și 1 sunt numite biți . Operația pe un bit este definită ca scrierea caracterelor 0, 1, plus, minus, paranteză; adunarea, scăderea și înmulțirea a doi biți. Primele formulări ale problemelor despre complexitatea biților a calculelor îi aparțin lui A. N. Kolmogorov . Complexitatea înmulțirii este definită ca numărul de operații pe biți suficient pentru a calcula produsul numerelor cu două cifre folosind acest algoritm. $M(n)$ $n$

Înmulțind două numere de n cifre în modul școlar obișnuit „într-o coloană”, avem o limită superioară . În 1956, A. N. Kolmogorov a emis ipoteza că limita inferioară pentru orice metodă de înmulțire este, de asemenea, o valoare de ordin , adică este imposibil să se calculeze produsul a două numere de n cifre mai rapid decât în operații (așa-numita „ipoteză ”). Versibilitatea ipotezei a fost indicată de faptul că, pentru tot timpul existenței matematicii, până în acel moment, oamenii s-au înmulțit cu complexitatea ordinii , iar dacă ar fi existat o metodă mai rapidă de înmulțire, atunci probabil că ar fi fost deja. găsite. $M(n)=O(n^{2})$ $M(n)$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $O(n^{2})$

În 1960, la Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova, a început să funcționeze un seminar despre problemele matematice ale ciberneticii sub îndrumarea lui A. N. Kolmogorov, unde a fost formulată o „ipoteză” și au fost puse o serie de probleme pentru a evalua complexitatea. a altor calcule similare. Anatoly Karatsuba, sperând să obțină o limită inferioară pentru , a găsit o nouă metodă de înmulțire a două numere cu n cifre, cunoscută acum ca înmulțirea Karatsuba , cu o estimare a complexității $n^{2}$ $M(n)$

M(n)=O(n^{{\log _{2}3)))=O(n^{{{1,58496\ldots }}),

și astfel respingând ipoteza $n^{2}$ , pe care i-a raportat-o lui Kolmogorov după următoarea întâlnire a seminarului. La următoarea întâlnire a seminarului, această metodă a fost descrisă de însuși Kolmogorov, iar seminarul și-a încetat activitatea. [5] Primul articol care descrie înmulțirea Karatsuba a fost pregătit de însuși Kolmogorov, unde a prezentat două rezultate diferite și neînrudite ale doi dintre elevii săi. [6] Deși în articolul Kolmogorov a remarcat clar că o teoremă (care nu are legătură cu înmulțirea rapidă) s-a datorat lui Yu. Ofman, iar o altă teoremă (cu prima înmulțire rapidă) s-a datorat lui A. Karatsube, această publicație a doi autori. a derutat cititorii multă vreme, care credeau că ambii autori au contribuit la crearea metodei înmulțirii rapide și chiar au numit această metodă cu două nume. Metoda Karatsuba a fost ulterior generalizată la paradigma împărțiți și cuceriți , alte exemple importante dintre care sunt partiționarecăutarea , metoda bisecției etc.

Ulterior, pe baza acestei idei a lui A. Karatsuba [5] [7] [8] s-au construit o mulțime de algoritmi rapizi, dintre care cei mai faimoși sunt generalizările sale directe, precum metoda de înmulțire Schoenhage-Strassen [9] , metoda de înmulțire a matricei Strassen [10] și transformata Fourier rapidă .

Matematicianul și filozoful francez Jean-Paul Delaye a numit [11] metoda de înmulțire a lui Karatsuba „unul dintre cele mai utile rezultate ale matematicii”.

Algoritmul Anatoly Karatsuba este implementat în aproape toate computerele moderne, nu numai la nivel de software, ci și la nivel de hardware.

Cercetare de bază

În articolul lor „Despre munca matematică a profesorului Karatsuba” [12] , dedicat aniversării a 60 de ani a lui A. A. Karatsuba, studenții săi G. I. Arkhipov și V. N. Chubarikov descriu trăsăturile lucrării științifice a lui A. A. Karatsuba după cum urmează:

Când prezentăm lucrările unor oameni de știință remarcabili, este firesc să evidențiem unele trăsături caracteristice și izbitoare ale muncii lor. Astfel de trăsături distinctive în activitatea științifică a profesorului Karatsuba sunt ingeniozitatea combinatorie, minuțiozitatea și o anumită completitudine a rezultatelor.

Principalele studii ale lui A. A. Karatsuba sunt publicate în peste 160 de articole și monografii științifice. [13] [14] [15] [16]

Sume trigonometrice și integrale trigonometrice

metoda p -adica

A. A. Karatsuba a construit o nouă metodă -adică în teoria sumelor trigonometrice. Estimările obţinute de el pentru aşa-numitele -sume ale formei $p$ $L$

S=\sum _{{x=1}}^{P}e^{{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\dots a_{n}x^{n}/p )}},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,

a condus la noi limite pentru seria zero -Dirichlet modulo egală cu puterea unui număr prim, la derivarea unei formule asimptotice pentru numărul de comparație Waring al formei $L$

x_{1}^{{n}}+\dots +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},

rezolvarea problemei de distribuție a părților fracționale ale unui polinom cu coeficienți întregi modulo . A. A. Karatsuba a fost primul care a implementat [18] „principiul de încorporare” Euler-Vinogradov în forma -adic și a construit un analog -adic al numerelor Vinogradov la estimarea numărului de soluții ale unei comparații de tip Waring. $p^{k}$ $p$ $p$ $u$

Lăsa

x_{1}^{{n}}+\dots +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)

și

P^{r}\leq Q<P^{{r+1)),\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12)){\sqrt {n)),\quad Q=p ^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,

unde este un număr prim. A. A. Karatsuba a dovedit că în acest caz pentru orice număr natural există astfel încât pentru orice număr natural poate fi reprezentat sub forma (1) pentru , iar pentru există astfel încât comparația (1) să fie indecidabilă. $p$ $n\geq 144$ $p_{0}=p_{0}(n)$ $p_{0}>p_{0}(n)$ $N$ $t\geq 20r+1$ $t<r$ $N$

Această nouă abordare, găsită de A. A. Karatsuba, a condus la o nouă demonstrație -adică a teoremei valorii medii a lui I. M. Vinogradov, care joacă un rol central în metoda sumelor trigonometrice a lui Vinogradov. $p$

Un alt element al metodei -adice a lui A. A. Karatsuba este trecerea de la sistemele incomplete de ecuații la cele complete datorită modificării locale -adice a necunoscutelor. [19] [20] $p$ $p$

Fie un număr natural arbitrar, , și fie întregul definit de inegalitățile . Luați în considerare sistemul de ecuații $r$ $1\leq r\leq n$ $t$ $m_{t}\leq r\leq m_{{t+1}}$

{\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}},\\\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{ s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}},\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^ {n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots < m_{s}<m_{{s+1}}=n.

A. A. Karatsuba a demonstrat că numărul de soluții ale acestui sistem de ecuații pentru , satisface estimarea $eu_{k}$ $k\geq 6rn\log n$

I_{k}\ll P^{{2k-\delta }},\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.

Pentru sistemele incomplete de ecuații în care variabilele variază peste numere cu divizori primi mici, A. A. Karatsuba a aplicat o schimbare multiplicativă a variabilelor. Aceasta a condus la o nouă estimare calitativă a sumelor trigonometrice și la o nouă teoremă a valorii medii pentru astfel de sisteme de ecuații.

Problema lui Hua Lo-ken asupra exponentului de convergență a integralei singulare a problemei Terry

$p$ Metoda -adic a lui A. A. Karatsuba include metode de estimare a măsurii unui set de puncte cu valori mici ale funcțiilor în ceea ce privește valorile parametrilor acestora (coeficienți etc.) și, invers, estimarea acestor parametri în termeni a masurii multimii in metrica reala si -adica. Această latură a metodei lui A. A. Karatsuba s-a manifestat în mod deosebit în mod clar în evaluarea integralelor trigonometrice, ceea ce a condus la rezolvarea problemei lui Hua Lo-ken . În 1979, A. A. Karatsuba, împreună cu elevii săi G. I. Arkhipov și V. N. Chubarikov, au rezolvat complet [21] problema lui Hua Lo-ken, pusă în 1937 , care a constat în determinarea indicelui de convergență al integralei: $p$

\vartheta _{0}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}{ \biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{{n}}x^{{n}}+\cdots +\alpha _{{1}}x)}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}\ldots d\alpha _{{1}},

unde este un număr fix. $n\geq 2$

În acest caz, indicele de convergență este o astfel de valoare care converge la și diverge la , unde arbitrar mic. S-a constatat că integrala converge la și diverge la . $\gamma$ $\vartheta _{0}$ $2k>\gamma +\varepsilon$ $2k<\gamma -\varepsilon$ $\varepsilon >0$ $\vartheta _{{0}}$ $2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$ $2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$

În același timp, o problemă similară a fost rezolvată pentru integrală

\vartheta _{1}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\biggl |} \int _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots + \alpha _{r}x^{r))}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}d\alpha _{{m}}\ldots d\alpha _ {{r}},

unde sunt numere întregi care îndeplinesc condițiile $n,m,\ldots ,r$

1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).

A. A. Karatsuba și studenții săi au descoperit că integrala converge dacă și diverge dacă . $\vartheta _{1}$ $2k>n+m+\ldots+r$ $2k\leq n+m+\ldots+r$

Integrale și apar în rezolvarea așa-numitei probleme Terry (problema Terry-Escott). A. A. Karatsuba și studenții săi au obținut o serie de rezultate noi legate de analogul multidimensional al problemei lui Terry. În special, au stabilit că if este un polinom în variabilele ( ) de formă $\vartheta _{0}$ $\vartheta _{1}$ $F$ $r$ $r\geq 2$

F(x_{{1}},\ldots ,x_{{r}})\,=\,\sum \limits _{{\nu _{{1}}=0}}^{{n_{{1 }}}}\cdots \sum \limits _{{\nu _{{r}}=0}}^{{n_{{r}}}}\alpha (\nu _{{1}}),\ ldots ,\nu _{{r)))x_{{1}}^{{\nu _{{1}}}}\ldots x_{{r}}^{{\nu _{{r}}} } ,

cu coeficient liber zero, , este un vector -dimensional compus din coeficienți , apoi integrala $m=(n_{{1}}+1)\ldots (n_{{r}}+1)-1$ ${\bar {\alpha ))$ $m$ $F$

\vartheta _{{2}}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty } }{\biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}\cdots \int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi iF(x_ {{1)),\ldots ,x_{{r))))}}dx_{{1}}\ldots dx_{{r}}{\biggr |}^{{2k}}d{\bar {\ alfa }}

converge pentru , unde este cel mai mare dintre numere . Acest rezultat, deși nu este final, a dat naștere unei noi direcții în teoria integralelor trigonometrice, legată de rafinarea limitelor pentru indicele de convergență (I. A. Ikromov, M. A. Chakhkiev și alții). $2k>mn$ $n$ $n_{1},\ldots ,n_{r}$ $\vartheta _{2}$

Sume trigonometrice multiple

În 1966-1980, A. A. Karatsuba a creat [22] [23] [14] (cu participarea studenților săi G. I. Arkhipov și V. N. Chubarikov) teoria sumelor trigonometrice multiple ale lui H. Weyl , adică sumele formei

S=S(A)=\sum _{{x_{1}=1}}^{{P_{1}}}\dots \sum _{{x_{r}=1}}^{{P_{r }}}e^{{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}

unde , $F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{{t_{1}=1}}^{{n_{1}}}\dots \sum _{{t_{r}= 1}}^{{n_{r}}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{{t_{1}}}\dots x_{r}^{{ t_{r}}}$

$A$ este un set de coeficienți reali . Punctul central al acestei teorii, precum și teoria sumelor trigonometrice de I. M. Vinogradov, este următoarea teoremă a valorii medii . $\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})$

Fie numere naturale, , . Fie, în continuare , un cub -dimensional în spațiul euclidian al formei

n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}

P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})

m=(n_{1}+1)\puncte (n_{r}+1)

\Omega

m

0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1

. .

0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}

și

J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int } }|S(A)|^{{2K}}dA

. Atunci pentru oricare și cantitatea satisface estimarea

\tau \geq 0

K\geq K_{{\tau }}=m\tau

J

J\leq K_{{\tau }}^{{2m\tau }}\varkappa ^{{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}}2^{{8m\varkappa \tau }}( P_{1}\dots P_{r})^{{2K}}P^{{-\varkappa \Delta (\tau )}}

, unde , , , și numerele naturale sunt astfel încât:

\varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}

\gamma \varkappa =1

\Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{{\tau }})

P=(P_{1}^{{n_{1}}}\dots P_{r}^{{n_{r}}})^{{\gamma }}

\nu _{1},\dots ,\nu _{r}

-1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0

, .

s=1,\dots ,r

Teorema valorii medii și lema asupra multiplicității de intersecție a paralelipipedelor multidimensionale stau la baza estimării unei sume trigonometrice multiple obținute de A. A. Karatsuba (cazul bidimensional a fost obținut de G. I. Arkhipov [24] ). Dacă notăm cu cel mai mic multiplu comun al numerelor cu condiția , atunci pentru , avem estimarea $Q_0$ $q(t_{1},\dots,t_{r})$ $t_{1}+\dots t_{r}\geq 1$ $Q_{0}\geq P^{{1/6}}$

|S(A)|\leq (5n^{{2n}})^{{r\nu (Q_{0})}}(\tau (Q_{0}))^{{r-1}}P_ {1}\dots P_{r}Q^{{-0,1\mu }}+2^{{8r}}(r\mu ^{{-1}})^{{r-1}}P_{1 }\dots P_{r}P^{{-0,05\mu }}

unde este numărul de divizori ai numărului și este numărul diferiților divizori primi ai numărului . $\tau (Q)$ $Q$ $\nu (Q)$ $Q$

O estimare pentru funcția Hardy în problema lui Waring

Aplicând forma -adică a metodei circulare Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov construită de el la estimări ale sumelor trigonometrice în care însumarea se realizează peste numere cu divizori primi mici, A. A. Karatsuba a obţinut [25] o nouă estimare pentru sondă. -funcția Hardy cunoscută în problema Waring (pentru ): $p$ $G(n)$ $n\geq 400$

G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.

Un analog multidimensional al problemei lui Waring

În studiile sale ulterioare asupra problemei Waring, A. A. Karatsuba a obținut [26] [27] următoarea generalizare bidimensională a acestei probleme:

Luați în considerare sistemul de ecuații

x_{1}^{{ni}}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{{ni}}y_{k}^{i}=N_{i}

. .

i=0,1,\dots ,n

unde sunt date numere întregi pozitive având aceeași ordine de creștere, , și sunt necunoscute, dar și numere întregi pozitive. Acest sistem este rezolvabil dacă , și dacă , atunci există astfel încât sistemul să nu aibă soluții. $N_{i}$ $N_{0}\la +\infty$ $x_{{\varkappa }},y_{{\varkappa }}$ $k>cn^{2}\log n$ $k<c_{1}n^{2}$ $N_{i}$

Problema lui Artin privind reprezentarea locală a zeroului prin forma

În studiile despre problema lui Artin cu privire la reprezentarea -adică a zeroului printr-o formă de grad arbitrar, rezultatele lui A. A. Karatsuba au arătat că, în loc de legea puterii presupusă anterior, creșterea numărului de variabile pentru o reprezentare netrivială a zeroului printr-o formă, acest număr de variabile ar trebui să crească aproape exponențial în funcție de grad. A. A. Karatsuba împreună cu elevul său G. I. Arkhipov au demonstrat [28] că pentru orice număr natural există astfel încât pentru orice există o formă de grad mai mică decât , cu coeficienți întregi, al căror număr de variabile este , , $p$ $r$ $n_{0}=n_{0}(r)$ $n\geq n_{0}$ $F(x_{1},\dots ,x_{k})$ $n$ $k$ $k\geq 2^{u}$

u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _ {2}n)}_{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}}_{{r+1}}}}

și având doar o reprezentare trivială a zero în numere 2-adice și, de asemenea, a obținut un rezultat similar pentru un modul prim impar arbitrar . $p$

Estimări pentru sumele scurte Kloosterman

A. A. Karatsuba a creat [29] [30] [31] (1993-1999) o nouă metodă de estimare a sumelor Kloosterman scurte , adică sume trigonometrice de forma

\sum \limits _{{n\in A}}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr )} },

unde trece printr-un set de numere coprime cu , numărul de elemente în care este semnificativ mai mic decât , iar simbolul indică restul invers modulo : . $n$ $A$ $m$ $\|A\|$ $m$ $n^{{*}}$ $n$ $m$ $nn^{{*}}\equiv 1(\mod m)$

Până la începutul anilor 1990. estimările de acest tip erau cunoscute în principal pentru sume în care numărul termenilor depășit ( G. D. Kloosterman , I. M. Vinogradov , G. Salie, L. Karlitz , S. Uchiyama, A. Weil ). Excepție au fost modulele speciale de forma , unde este un număr prim fix, iar exponentul crește la nesfârșit (acest caz a fost studiat de A. G. Postnikov prin metoda lui I. M. Vinogradov ). Metoda lui Karatsuba face posibilă estimarea sumelor Kloosterman al căror număr de termeni nu depășește , și în unele cazuri chiar , unde este un număr fix arbitrar mic. Ultimul articol al lui A. A. Karatsuba pe acest subiect [32] a fost publicat după moartea sa. ${\sqrt {m))$ $m=p^{{\alpha }}$ $p$ $\alfa$ $m^{{\varepsilon ))$ $\exp {\{(\ln m)^{{2/3+\varepsilon }}\}}$ $\varepsilon >0$

Diverse aspecte ale metodei lui A. A. Karatsuba și-au găsit aplicație în rezolvarea următoarelor probleme ale teoriei numerelor analitice:

găsirea asimptoticelor pentru sumele părților fracționale ale formei ${\sum _{{n\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{ {p\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{{*}}+bp}{m}}{\biggr \}},$

unde trece prin numere întregi consecutive cu condiția , și trece prin numere prime care nu împart modulul (A. A. Karatsuba);

n

(n,m)=1

p

m

găsirea unei limite inferioare pentru numărul de soluții ale inegalităților formei $\alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta$

în numere întregi , , coprime cu , (A. A. Karatsuba);

n

1\leq n\leq x

m

x<{\sqrt {m))

acuratețea aproximării unui număr real arbitrar dintr-un segment prin părți fracționale ale formei $[0,1]$ ${\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},$

unde , , (A. A. Karatsuba);

1\leq n\leq x

(n,m)=1

x<{\sqrt {m))

rafinarea constantei în inegalitatea Brun-Titchmarsh $c$ $\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q)))),$

unde este numărul de numere prime care nu depășesc și aparțin unei progresii aritmetice ( J. Friedlander , G. Ivanets );

\pi (x;q,l)

p

X

p\equiv l{\pmod {q}}

limita inferioară pentru cel mai mare divizor prim al unui produs de numere de forma: $n^{{3}}+2$ , ( D. R. Heath-Brown ); $N<n\leq 2N$

dovada infinitatei primelor formei ( J. Friedlander , G. Ivanets ); $a^{{2}}+b^{{4}}$

proprietăți combinatorii ale unui set de numere , (A. A. Glibichuk). $n^{{*}}{\pmod {m}}$ $1\leq n\leq m^{{\varepsilon }}$

Funcția Riemann zeta

Ipoteza lui A. Selberg

În 1984, A. A. Karatsuba a stabilit [33] [34] [35] că pentru un fix cu condiția , suficient de mare și , , intervalul conține cel puțin zerouri reale ale funcției zeta Riemann . $\varepsilon$ $0<\varepsilon<0,001$ $T$ $H=T^{{a+\varepsilon }}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $cH\ln T$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr )}$

Această afirmație a fost făcută în 1942 ca o presupunere de către A. Selberg [36] , care a dovedit el însuși valabilitatea ei pentru caz . Estimările lui A. Selberg și A. A. Karatsuba sunt de neîmbunătățit în ordinea creșterii pentru . $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$ $T\la +\infty$

Distribuția zerourilor funcției zeta Riemann pe segmente scurte ale dreptei critice

A. A. Karatsuba a contribuit și cu o serie de rezultate privind distribuția zerourilor pe intervale „scurte” ale liniei critice [37] . El a demonstrat că un analog al conjecturii Selberg este valabil pentru „aproape toate” intervalele , , unde este un număr pozitiv fix arbitrar mic. A. A. Karatsuba a dezvoltat (1992) o nouă abordare a studiului zerourilor funcției zeta Riemann pe intervale „ultra-scurte” ale liniei critice, adică pe intervale a căror lungime crește mai lent decât orice grad, chiar arbitrar mic. . În special, el a demonstrat că pentru orice numere date , cu condiția, aproape toate intervalele la conțin cel puțin zerouri ale funcției . Această estimare este foarte apropiată de cea care decurge din ipoteza Riemann . $\zeta (s)$ $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepsilon }}$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepsilon_{1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geq \exp {\{(\ln T)^{{\varepsilon }}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepsilon _{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

Zerouri de combinații liniare ale seriei Dirichlet el

A. A. Karatsuba a creat o nouă metodă [38] [39] [40] pentru studierea zerourilor funcțiilor reprezentabile ca combinații liniare ale seriei Dirichlet . Cel mai simplu exemplu de funcție de acest fel este funcția Davenport - Heilbronn , definită prin egalitatea $L$

f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi )))

unde este un caracter neprincipal modulo ( , , , , , pentru orice ), $\chi$ $5$ $\chi(1)=1$ $\chi (2)=i$ $\chi (3)=-i$ $\chi(4)=-1$ $\chi(5)=0$ $\chi (n+5)=\chi (n)$ $n$

\kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.

Pentru că ipoteza Riemann este incorectă, totuși, linia critică conține, totuși, în mod anormal de multe zerouri. $f(e)$ $Re\ s={\tfrac {1}{2}}$

A. A. Karatsuba a stabilit (1989) că intervalul , , conţine cel puţin $(T,T+H]$ $H=T^{{27/82+\varepsilon }}$

H(\ln T)^{{1/2}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

zerouri de funcție . Rezultate similare au fost obținute și de A. A. Karatsuba pentru combinații liniare care conțin un număr arbitrar (finit) de termeni; exponentul este înlocuit cu un număr mai mic în funcție doar de tipul de combinație liniară. $f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ ${\tfrac {1}{2))$ $\beta$

Limita zero a funcției zeta și problema divizorului Dirichlet multidimensional

A. A. Karatsuba a venit cu un rezultat fundamental nou [41] în problema multidimensională a divizorilor Dirichlet, care este legată de găsirea de soluții pentru inegalitatea numerelor naturale pentru . Căci există o formulă asimptotică a formei $x\la +\infty$ $D_{{k}}(x)$ $x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x$ $x_{{1}},\ldots ,x_{{k}}$ $D_{{k}}(x)$

D_{{k}}(x)=xP_{{k-1}}(\ln x)+R_{{k}}(x)

în care este un polinom de gradul al treilea, ai cărui coeficienți depind și pot fi găsiți în mod explicit, și este un termen rest, toate estimările cunoscute (înainte de 1960) erau de forma $P_{{k-1}}(u)$ $(k-1)$ $k$ $R_{{k}}(x)$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

unde și sunt constante pozitive absolute. $\alpha ={\frac {1}{ak+b}}$ $a,b,c$

A. A. Karatsuba a obținut o estimare mai precisă , în care valoarea avea un ordin de mărime și a scăzut mult mai lent decât în estimările anterioare. Estimarea lui A. A. Karatsuba este uniformă în și ; în special, mărimea poate crește pe măsură ce crește (ca o putere a logaritmului ). (Un rezultat similar, dar mai slab, a fost obținut în 1960 de către matematicianul german H. E. Richert, a cărui lucrare a rămas necunoscută matematicienilor sovietici până cel puțin la mijlocul anilor 1970). $R_{{k}}(x)$ $\alpha (k)$ $k^{{-2/3}}$ $\alpha (k)$ $X$ $k$ $k$ $X$ $X$

Derivarea estimării se bazează pe un număr de afirmații care sunt în esență echivalente cu teorema asupra graniței zerourilor a funcției zeta Riemann obținută prin metoda lui I. M. Vinogradov , adică teorema asupra a ceea ce nu are zerouri în regiune. $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{{2/3}}(\ln \ln |t|)^{{1/3}}}},\ quad|t|>10

A. A. Karatsuba a stabilit [42] [43] (2000) o relație inversă între estimările cantităților și comportamentul în apropierea dreptei . În special, el a demonstrat că dacă este o funcție arbitrară necrescătoare cu condiția , astfel încât pentru toate estimările $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$ $Re\s=1$ $\alpha (y)$ $1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2$ $k\geq 2$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

atunci nu are zerouri în regiune $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-c_{{1))\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{ {2}}

( sunt constante absolute). $c,c_{{1}}$

Limite inferioare pentru modulul maxim al funcției zeta în regiuni mici ale benzii critice și pe intervale mici ale liniei critice

A. A. Karatsuba a introdus și studiat [44] [45] funcțiile și definite de egalități $F(T;H)$ $G(s_{{0}};\Delta )$

F(T;H)=\max _{{|tT|\leq H}}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{ \bigr |},\quad G(s_{{0}};\Delta )=\max _{{|s-s_{{0}}|\leq \Delta }}|\zeta (s)|.

Aici este un număr pozitiv suficient de mare, , , , . Limitele inferioare pentru și arată cât de mari (în valoare absolută) pot lua pe segmente scurte ale liniei critice sau în vecinătăți mici de puncte situate în banda critică . Cazul fusese investigat mai devreme de Ramachandra; cazul în care este o constantă suficient de mare este trivial. $T$ $0<H\ll \ln \ln T$ $s_{{0}}=\sigma _{{0}}+iT$ ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{{0}}\leq 1$ $0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}$ $F$ $G$ $\zeta (s)$ $0\leq Re\s\leq 1$ $H\gg \ln \ln T$ $\Delta >c$ $c$

A. A. Karatsuba a demonstrat, în special, că dacă cantitățile și depășesc unele constante suficient de mici, atunci estimările $H$ $\Delta$

F(T;H)\geq T^{{-c_{{1}}}},\quad G(s_{{0}};\Delta )\geq T^{{-c_{{{2}}} },

unde sunt unele constante absolute. $c_{{1}},c_{{2}}$

Comportarea argumentului funcției zeta pe linia critică

A. A. Karatsuba a obținut o serie de rezultate noi [46] [47] privind comportamentul funcției , numite argumentul funcției zeta Riemann pe linia critică (aici , incrementul unei ramuri continue arbitrare de -a lungul liniei întrerupte care leagă punctele). și ). Printre acestea se numără teoremele privind valorile medii ale unei funcții și antiderivatele acesteia pe segmente ale dreptei reale, precum și teorema că orice interval la conține cel puțin $S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg \zeta (s)$ $2.2+it$ ${\tfrac {1}{2}}+it$ $Sf)$ $S_{{1}}(t)=\int _{{0}}^{{t}}S(u)du$ $(T,T+H]$ $H\geq T^{{27/82+\varepsilon }}$

H(\ln T)^{{1/3}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

puncte de schimbare a semnului funcţiei . Anterior, rezultate similare au fost stabilite de A. Selberg pentru cazul . $Sf)$ $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$

Personajele lui Dirichlet

Estimări pentru sume scurte de caractere în câmpuri finite

La sfârşitul anilor 1960 A. A. Karatsuba, în timp ce estima sume scurte de caractere , a creat [48] o nouă metodă care a făcut posibilă obținerea de estimări netriviale pentru sume scurte de caractere în câmpuri finite . Fie un întreg fix, să fie un polinom ireductibil peste câmpul numerelor raționale, să fie rădăcina ecuației , să fie o extensie a câmpului , să fie baza , , , . Fie, în continuare, un număr prim suficient de mare, astfel încât să fie ireductibil modulo , să fie un câmp Galois cu bază și să fie un caracter Dirichlet neprincipal al câmpului . Fie, în sfârșit, niște numere întregi nenegative, să fie mulțimea elementelor câmpului Galois , $n\geq 2$ $F(x)=x^{{n}}+a_{{n-1}}x^{{n-1}}+\ldots +a_{{1}}x+a_{{0}}$ $\mathbb {Q}$ $\theta$ $F(\theta)=0$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\mathbb {Q}$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\omega _{{1}}=1$ $\omega _{{2}}=\theta$ $\omega _{{3}}=\theta ^{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}=\theta ^{{n-1}}$ $p$ $F(x)$ $p$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\omega _{{1}},\omega _{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}$ $\chi$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\nu _{{1}},\ldots ,\nu _{{n}}$ $D(X)$ ${\bara {x}}$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$

{\bar {x}}=x_{{1}}\omega _{{1}}+\ldots +x_{{n}}\omega _{{n}}

astfel încât pentru orice , , sunt valabile următoarele inegalități: $i$ $1\leq i\leq n$

\nu _{{i}}<x_{{i}}<\nu _{{i}}+X

A. A. Karatsuba a dovedit că pentru orice fix , , și arbitrar cu condiția $k$ $k\geq n+1$ $X$

p^{{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}}\leq X\leq p^{{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}

evaluare corectă:

{\biggl |}\sum \limits _{({\bar {x}}\in D(X)))\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl ( }X^{{1-{\frac {1}{k))))p^{({\frac {1}{4k))+{\frac {1}{4k^{{2)))) }}{\Bigr )}^{{\!\!n}}(\ln p)^{{\gamma }}),

unde , iar constanta depinde numai de și de bază . $\gamma ={\frac {1}{k}}(2^{{n+1}}-1)$ $c$ $n$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$

Estimări pentru sumele liniare de caractere în termeni de numere prime deplasate

A. A. Karatsuba a dezvoltat o serie de trucuri noi, a căror utilizare, împreună cu metoda lui I. M. Vinogradov de estimare a sumelor cu numere prime, i-a permis în 1970 să obțină [49] [50] o estimare pentru suma valorilor unui non- caracterul principal modulo un prim pe o succesiune de numere prime deplasate, și anume, o estimare a formei $q$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}} {1024}}}},

unde este un număr întreg cu condiția , este un număr fix arbitrar mic, , iar constanta depinde numai de . $k$ $k\nu \equiv 0{\pmod {q}}$ $\varepsilon$ $N\geq q^{{1/2+\varepsilon }}$ $c$ $\varepsilon$

Această afirmație este o întărire semnificativă a estimării lui I. M. Vinogradov, care este netrivială pentru . $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$

În 1971, la Conferința internațională despre teoria numerelor dedicată aniversării a 80 de ani de la nașterea lui I. M. Vinogradov , academicianul Yu. V. Linnik a remarcat următoarele:

Foarte importante sunt studiile lui I. M. Vinogradov în domeniul asimptoticii caracterelor Dirichlet în numere prime deplasate , care au dat o scădere a legii puterii în comparație cu deja la , , unde este modulul caracterului. Această estimare are o importanță fundamentală, deoarece depășește în profunzime ceea ce dă aplicarea directă a ipotezei Riemann extinse și, aparent, în această direcție se află adevărul, mai profund decât ipoteza indicată (dacă ipoteza este corectă). Recent A. A. Karatsuba a reușit să îmbunătățească această estimare. $\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k)$ $N$ $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$ $\varepsilon >0$ $q$

Acest rezultat a fost transferat de A. A. Karatsuba în cazul în care numerele prime trec printr-o progresie aritmetică, a cărei diferență crește cu modulul . $p$ $q$

Estimări pentru sumele de caractere în polinoame cu argument simplu

A. A. Karatsuba [48] [51] a obținut o serie de estimări pentru sumele caracterelor Dirichlet ale polinoamelor de gradul doi pentru cazul în care argumentul polinomului rulează pe o scurtă secvență de numere prime consecutive. Fie, de exemplu, un număr prim suficient de mare, , unde și sunt numere întregi care satisfac condiția , și să notăm simbolul Legendre , apoi pentru orice condiție fixă și pentru suma , $q$ $f(x)=(xa)(xb)$ $A$ $b$ $ab(ab)\nu \equiv 0{\pmod {q}}$ $\left({\frac {n}{q}}\dreapta)$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ $N>q^{{3/4+\varepsilon }}$ $S_{{N}}$

S_{{N}}=\sum \limits _{{p\leq N}}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},

evaluare corectă:

|S_{{N}}|\leq c\pi (N)q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{100}}}}

(aici, numere prime succesive trec prin, este numărul de prime care nu depășește , și este o constantă care depinde doar de ). $p$ $\pi (N)$ $N$ $c$ $\varepsilon$

O estimare similară a fost obținută și de A. A. Karatsuba pentru cazul în care trece o succesiune de numere prime aparținând unei progresii aritmetice, a căror diferență poate crește cu modulul . $p$ $q$

A. A. Karatsuba a presupus că o estimare netrivială a sumei pentru , „mică” în comparație cu , rămâne valabilă chiar dacă o înlocuim cu un polinom arbitrar de gradul al treilea, care nu este un pătrat modulo . Această ipoteză nu a fost încă dovedită. $S_{{N}}$ $N$ $q$ $f(x)$ $n$ $q$

Limitele inferioare pentru sumele de caractere din polinoame

A. A. Karatsuba a construit [52] o succesiune infinită de numere prime și o secvență de polinoame de grade cu coeficienți întregi astfel încât să nu fie un pătrat perfect modulo , $p$ $f(x)$ $n$ $f(x)$ $p$

{\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p)),

si cei care

\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.

Cu alte cuvinte, pentru orice valoare se dovedește a fi un reziduu patratic modulo . Acest rezultat arată că estimarea lui A. Weyl $X$ $f(x)$ $p$

{\biggl |}\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq ( n-1){\sqrt{p))

nu se poate îmbunătăți prea mult și înlocui partea dreaptă a ultimei inegalități, să zicem, cu valoarea , unde este o constantă absolută. $C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}$ $C$

Sumele de caractere pe secvențele aditive

A. A. Karatsuba a propus o nouă metodă [53] [54] care permite găsirea unor estimări foarte precise pentru sumele valorilor caracterelor Dirichlet non-principale pe secvențe aditive, adică pe secvențe formate din numere de forma , unde variabilele și independent unele de altele rulează, respectiv, unele mulțimi și . $x+y$ $X$ $y$ $A$ $B$

Cel mai frapant exemplu de rezultate de acest fel este următoarea afirmație, care își găsește aplicație în rezolvarea unei clase largi de probleme legate de însumarea valorilor caracterelor Dirichlet. Fie un număr fix arbitrar mic, , un număr prim suficient de mare și un caracter neprincipal modulo . Fie, mai departe, și să fie submulțimi arbitrare ale sistemului complet de reziduuri modulo , satisfacând numai condițiile , . Apoi are loc următoarea estimare: $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ $q$ $\chi$ $q$ $A$ $B$ $q$ $\|A\|>q^{{\varepsilon ))$ $\|B\|>q^{{{1/2+\varepsilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{x\in A}}\sum \limits _{{y\in B}}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\ |\cdot \|B\|q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{20}}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.

Metoda lui A. A. Karatsuba permite obținerea unor estimări non-triviale ale unor sume de acest fel și, în unele cazuri, atunci când condițiile de mai sus pe mulțimi și sunt înlocuite cu altele, de exemplu: , $A$ $B$ $\|A\|>q^{{\varepsilon ))$ ${\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{{{1/2+\varepsilon }}.$

În cazul în care și sunt mulțimi de numere prime de segmente , respectiv , , există o estimare a formei: $A$ $B$ $(1,X]$ $(1,Y]$ $X\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$ $Y\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq X}}\sum \limits _{{p'\leq Y}}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{{-c_{{1}}\varepsilon ^{{2}}}},

unde este numărul de numere prime care nu depășește , , și este o constantă absolută. $\pi (Z)$ $Z$ $c=c(\varepsilon )>0$ $c_{{1}}$

Distribuția reziduurilor de putere și a rădăcinilor primitive în secvențe rare

A. A. Karatsuba a obținut [55] [56] (2000) estimări non-triviale pentru sumele de valori ale caracterelor Dirichlet „cu ponderi”, adică sume de termeni de forma , unde este o funcție a argumentului natural. Estimările de acest fel sunt utilizate în rezolvarea unei game largi de probleme din teoria numerelor legate de distribuția reziduurilor de putere (nereziduuri), precum și a rădăcinilor primitive în diverse secvențe. $\chi (n)f(n)$ $f(n)$

Fie un număr întreg, un număr prim suficient de mare, , , , unde , și fie, în sfârșit, $k\geq 2$ $q$ $(a,q)=1$ $|a|\leq {\sqrt {q}}$ $N\geq q^{{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }}$ $0<\varepsilon <\min {\{0,01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}$

D_{{k}}(x)=\sum \limits _{{x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x}}1=\sum \limits _{{n\leq x}}\tau _{{k}}(n)

(pentru expresia asimptotică a se vedea mai sus, în secțiunea dedicată problemei multidimensionale a divizorilor Dirichlet). Pentru sume și cantități extinse la valori pentru care numerele sunt reziduuri pătratice (respectiv, nereziduuri) modulo , A. A. Karatsuba a obținut formule asimptotice de forma $D_{{k}}(x)$ $V_{{1}}(x)$ $V_{{2}}(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V_{{1}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{-0,01\varepsilon ^{{2}} }}{\bigr )},\quad V_{{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{ -0,01\varepsilon ^{{2)))){\bigr )}

În mod similar, pentru suma valorilor preluate toate , pentru care este o rădăcină primitivă modulo , obținem o expresie asimptotică de forma $V(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{{1))))\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{{s)))) \right)D_{{k))(x)+O{\bigl (}xq^{{-0,01\varepsilon ^{{{2)))){\bigr )}

unde sunt toți divizorii primi ai . $p_{{1}},\ldots ,p_{{s}}$ $q-1$

Metoda dezvoltată de A. A. Karatsuba a fost aplicată de acesta și la problemele privind distribuția reziduurilor de putere (nereziduuri) în secvențe de numere prime deplasate , numere de formă etc. $p+a$ $x^{{2}}+y^{{2}}+a$

Lucrări din ultimii ani

În ultimii ani, pe lângă cercetările în domeniul teoriei numerelor (vezi efectul Karatsuba [57] [58] ), a fost angajat în unele probleme de fizică teoretică [59] , inclusiv în domeniul teoriei câmpurilor cuantice . Aplicând teorema ATS și alte abordări ale teoriei numerelor, el a obținut noi rezultate [60] [61] în modelul Jaynes-Cummings în optica cuantică .

Familie și hobby-uri

Soția sa este coleg de clasă la Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova Diana Vasilievna Senchenko (născută în 1936), profesor asociat al Departamentului de Metode Matematice de Analiză Economică a Facultății de Economie a Universității de Stat din Moscova . Fiica Ekaterina (născută în 1963) - doctor în științe fizice și matematice, cercetător principal la Centrul de calcul. A. A. Dorodnitsyna RAS [62] .

Anatoly Karatsuba a practicat sport toată viața: în primii ani, haltere și lupte, apoi alpinism, [63] alpinism, speologie și turism montan. A trecut de zidurile Crimeii Ai-Petri , Kush-Kai , Opolznevoy, Foros și multe altele, a participat la expediții speologice în peșterile Anakopia (Noul Athos) , Kaskadnaya, Nazarovskaya.

De unsprezece ori a urcat la o înălțime de peste 7000 de metri, cucerind vârfurile

vârful comunismului (cel mai înalt vârf al URSS) în 1977 și în 1985;
Vârful Lenin în 1968 și 1979;
vârful Korzhenevskaya în 1980, 1982, 1983, 1985, 1986, 1988 și 1991,

Elbrus a cucerit de patru ori . A făcut excursii în munții Caucazului , în Pamir și, mai ales în ultimii ani ai vieții sale, Tien Shan din Kârgâzul Ala-Too , Zailiysky Alatau , Terskey și Kungei Ala-Too .

Vezi și

Note

↑ 1 2 S. A. Gritsenko, E. A. Karatsuba, M. A. Korolev, I. S. Rezvyakova, D. I. Tolev, M. E. Changa. Realizările științifice ale lui Anatoly Alekseevich Karatsuba. Matematică și informatică, 1. // La 75 de ani de la nașterea lui Anatoly Alekseevich Karatsuba . - Modern. prob. Mat.. - 2012. - T. 16. - S. 7-30.
↑ Knut D. The Art of Computer Programming. - Ed. I. - M . : Mir (editura), 1977. - T. 2. - S. 315. - 724 p.
↑ Moore, E.F. Gedanken-experiments on Sequential Machines // Automata Studies, Annals of Mathematical Studies, Princeton University Press, Princeton, NJ,. - 1956. - Nr. 34 . - S. 129-153 .
↑ Karatsuba, A. A. Rezolvarea unei probleme din teoria automatelor finite // Uspekhi Mat. - 1960. - Nr. 15: 3 . - S. 157-159 .
↑ 1 2 Karatsuba A. A. Complexitatea computațională // Tr. MIAN. - 1995. - T. 211 . - S. 186-202 .
↑ Karatsuba A., Ofman Yu. Înmulțirea numerelor cu mai multe valori pe automate // Rapoarte ale Academiei de Științe a URSS. - 1962. - T. 145 , nr 2 .
↑ Karacuba A. Berechnungen und die Kompliziertheit von Beziehungen (germană) // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. - 1975. - Bd. 11 .
↑ Knut D. Arta programarii. - Ed. a 3-a. - M. : Williams , 2007. - V. 2. Algoritmi obținuți. — 832 p. — ISBN 0-201-89684-2 . .
↑ Schönhage A., Strassen V. Schnelle Multiplikation großer Zahlen // Computing. - 1971. - Nr 7 . - P. 281-292.
↑ Strassen V. Eliminarea gaussiană nu este optimă // Număr . Math / F. Brezzi - Springer Science + Business Media , 1969. - Vol. 13, Iss. 4. - P. 354-356. — ISSN 0029-599X ; 0945-3245 - doi:10.1007/BF02165411
↑ Jean-Paul Delahaye. Mathematiques et philosophie (franceză) // Pour la Science. - 2000. - Nr . 277 . - P. 100-104 .
↑ G. I. Arkhipov; V. N. Chubarikov. Despre lucrarea de matematică a profesorului A. A. Karatsuba // Proceedings of MIAN . - 1997. - T. 218 . - S. 7-19 .
↑ Karatsuba A. A. Fundamentals of analitic number theory // Moscova: Nauka. — 1975.
↑ 1 2 Arkhipov G.I., Karatsuba A.A., Chubarikov V.N. Teoria sumelor trigonometrice multiple // M.: Nauka. — 1987.
↑ Voronin S. M., Karatsuba A. A. Riemann zeta function // Moscova: Fizmatlit. — 1994.
↑ Karatsuba AA Analiza complexă în teoria numerelor // Londra, Tokyo: CRC. — 1995.
↑ Karatsuba, A. A. Estimări pentru sume trigonometrice de formă specială și aplicațiile acestora // Dokl. Academia de Științe a URSS: jurnal. - 1961. - Nr. 137:3 . - S. 513-514 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Problema lui Waring pentru comparație modulo o putere a unui număr prim // Vestn. Universitatea de Stat din Moscova: jurnal. - 1962. - Nr 1: 4 . - S. 28-38 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Despre estimarea numărului de soluții ale unor ecuații // Dokl. Academia de Științe a URSS. - 1965. - Nr. 165: 1 . - S. 31-32 .
↑ Karatsuba, A. A. Sisteme de comparații și ecuații de tip Waring // Dokl. Academia de Științe a URSS. - 1965. - Nr 1: 4 . - S. 274-276 .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. Integrale trigonometrice // Izvestiya RAN. Serii matematice. . - 1979. - T. 43 , nr 5 . - S. 971-1003 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Teoreme de valoare medie și sume trigonometrice complete // Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. matematica. : revista. - 1966. - Nr. 30: 1 . - S. 183-206 . (Rusă)
↑ Vinogradov I. M., Karatsuba A. A. Metoda sumelor trigonometrice în teoria numerelor // Proceedings of MIAN. - 1984. - Nr. 168 . - S. 4-30 .
↑ Arkhipov, G. I. Teorema privind valoarea medie a modulului unei sume trigonometrice multiple // Matem. note: jurnal. - 1975. - Nr. 17: 1 . - S. 143-153 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Despre funcția G(n) în problema Waring // Izvestiya RAN. Serii matematice. . - 1985. - Nr. 49: 5 . - S. 935-947 . (Rusă)
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Analog multidimensional al problemei Waring // Dokl. Academia de Științe a URSS. - 1987. - Nr. 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Problema lui Karatsuba AA Waring în mai multe dimensiuni // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - Nr. 42 . - P. 5-6 .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Despre reprezentarea locală a zeroului printr-o formă // Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat.. - 1981. - Nr. 45:5 . - S. 948-961 .
↑ Karatsuba, A. A. Analogues of Kloosterman sums // Izvestiya RAN. Serii matematice. . - 1995. - Nr. 59:5 . - S. 93-102 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Analogues of incomplete Kloosterman sums and their applications // Tatra Mountains Math. Publ.. - 1997. - Nr. 11 . - S. 89-120 .
↑ Karatsuba, A. A. Double Kloosterman sums // Matem. note. - 1999. - Nr. 66: 5 . - S. 682-687 .
↑ Karatsuba, A. A. Noi estimări pentru sume scurte Kloosterman // Matem. note. - 2010. - Nr. 88:3 . - S. 384-398 .
↑ Karatsuba, A. A. Pe zerourile funcției ζ(s) pe intervale scurte ale liniei critice // Izvestiya RAN. Serii matematice. : revista. - 1984. - Nr. 48:3 . - S. 569-584 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Distribuția zerourilor funcției ζ(1/2 + it) // Izvestiya RAN. Serii matematice. . - 1984. - Nr. 48:6 . - S. 1214-1224 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Despre zerourile funcției zeta Riemann pe linia critică // Trudy MIAN. - 1985. - Nr. 167 . - S. 167-178 .
↑ Selberg, A. Despre zerourile funcției zeta a lui Riemann // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942. - Nr. 10 . - S. 1-59 .
↑ Karatsuba, A. A. Despre numărul de zerouri al funcției zeta Riemann care se află pe aproape toate intervalele scurte ale liniei critice // Izvestiya RAN. Serii matematice. : revista. - 1992. - Nr. 56: 2 . - S. 372-397 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Pe zerourile funcției Davenport–Heilbronn situate pe linia critică // Izvestiya RAN. Serii matematice. : revista. - 1990. - Nr. 54: 2 . - S. 303-315 . (Rusă)
↑ Karatsuba, AA Despre zerourile funcției Davenport–Heilbronn // Proc. Amalfi Conf. Teoria analitică a numerelor. - 1992. - S. 271-293 .
↑ Karatsuba, A. A. Pe zerourile seriei Dirichlet aritmetice care nu au un produs Euler // Izvestiya RAN. Serii matematice. : revista. - 1993. - Nr. 57:5 . - P. 3-14 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Estimare uniformă a termenului rămas în problema divizorilor Dirichlet // Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. matematica. : revista. - 1972. - Nr. 36:3 . - S. 475-483 . (Rusă)
↑ Karatsuba, AA Problema divizorului Dirichlet multidimensional și regiunile libere zero pentru funcția zeta Riemann // Functiones et Approximatio : journal. - 2000. - Nr. XXVIII . - P. 131-140 .
↑ Karatsuba, A. A. Despre legătura problemei multidimensionale a divizorilor Dirichlet cu granița zerourilor ζ(s) // Matem. note: jurnal. - 2001. - Nr. 70: 3 . - S. 477-480 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A., Pe limitele inferioare pentru maximul modulului ζ(s) în domenii mici ale benzii critice, Mat. note: jurnal. - 2001. - Nr. 70: 5 . - S. 796-798 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Pe limitele inferioare pentru modulul maxim al funcției zeta Riemann pe intervale scurte ale liniei critice // Izvestiya RAN. Serii matematice. : revista. - 2004. - Nr. 68: 8 . - S. 99-104 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Teorema densității și comportamentul argumentului funcției zeta Riemann // Matem. note. - 1996. - Nr. 60: 3 . - S. 448-449 .
↑ Karatsuba, A. A. Despre funcția S(t) // Izvestiya RAN. Serii matematice. . - 1996. - Nr. 60: 5 . - S. 27-56 . (Rusă)
↑ 1 2 Karatsuba, A. A. Sume de caractere și rădăcini primitive în câmpuri finite // Dokl. Academia de Științe a URSS: jurnal. - 1968. - Nr. 180:6 . - S. 1287-1289 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Despre estimări ale sumelor de caractere // Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat.. - 1970. - Nr. 34:1 . - S. 20-30 .
↑ Karatsuba, A. A. Sume de caractere cu numere prime // Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat.. - 1970. - Nr. 34:2 . - S. 299-321 .
↑ Karatsuba, A. A. Sumele de caractere pe o secvență de numere prime deplasate și aplicațiile acestora // Matematică. note: jurnal. - 1975. - Nr. 17: 1 . - S. 155-159 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Pe limitele inferioare pentru sumele de caractere din polinoame // Matem. note. - 1973. - Nr. 14: 1 . - S. 67-72 .
↑ Karatsuba, A. A. Distribuția reziduurilor de putere și a nereziduurilor în secvențe aditive // Dokl. Academia de Științe a URSS: jurnal. - 1971. - Nr. 196:4 . - S. 759-760 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Distribuția valorilor caracterelor Dirichlet pe secvențe aditive // Dokl. Academia de Științe a URSS: jurnal. - 1991. - Nr. 319:3 . - S. 543-545 . (Rusă)
↑ Karatsuba, AA Sume de caractere cu numere prime și aplicațiile lor // Tatra Mountains Math. Publ. : jurnal. - 2000. - Nr. 20 . - P. 155-162 .
↑ Karatsuba, A. A. Sume de personaje cu greutăți // Izvestiya RAN. Serii matematice. . - 2000. - Nr. 64: 2 . - S. 29-42 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Despre o proprietate a mulțimii primelor // Uspekhi Matematicheskikh Nauk. - 2011. - T. 66 , nr. 2 (398) . - P. 3-14 .
↑ Karatsuba, A. A. Despre o proprietate a setului de numere prime ca bază multiplicativă a seriei naturale // Rapoarte ale Academiei de Științe: jurnal. - 2011. - T. 439 , nr 2 . - S. 1-5 . (Rusă)
↑ AA Karatsuba, EA Karatsuba. Matematică fizică în teoria numerelor // Analiză funcțională și alte matematici. - 2010. - doi : 10.1007/s11853-010-0044-5 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA Aplicarea ATS într-un model cuantic-optic // Analysis and Mathematical Physics: Trends in Mathematics. - 2009. - S. 211-232 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA O formulă de reluare pentru colaps și renaștere în modelul Jaynes–Cummings // J. Phys . A: Matematică. Theor. : jurnal. - 2009. - Nr. 42 . - P. 195304, 16 . - doi : 10.1088/1751-8113/42/19/195304 .
↑ Ekaterina Karatsuba . Consultat la 25 aprilie 2018. Arhivat din original pe 8 iunie 2018. (nedefinit)
↑ Bashkirov Vladimir Leonidovici: Berserk Bashkirov. Prima parte. . Preluat la 15 martie 2011. Arhivat din original la 19 mai 2014. (nedefinit)

Link -uri

Lista lucrărilor științifice pe site-ul MIAN (Data accesării: 24 septembrie 2009)
Date despre interese științifice, educație și activități profesionale (Data accesului: 24 septembrie 2009)
Arkhipov G. I. , Chubarikov V. N. Anatoly Alekseevich Karatsuba

Site-uri tematice

În cataloagele bibliografice
BIBSYS: 90293228 BNF : 124713866 GND : 1024789535 ICCU : UFIV062685 ISNI : 0000 0001 0902 4998 J9U : 987007423961405171 LCCN : n80106990 NKC : jx20061125010 NTA : 084809418 NUKAT : n98022568 SUDOC : 033903808 VIAF : 54247158 WorldCat VIAF : 54247158