Distanţă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 20 iulie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Distanța , în sens larg, gradul (măsura) distanței dintre obiecte unul față de celălalt.

Distanța este un concept fundamental al geometriei . Termenul este adesea folosit în alte științe și discipline: astronomie , geografie , geodezie , navigație și altele. În diverse discipline, ca termen, are o altă definiție, prezentată mai jos.

Distanța în matematică

Distanța în algebră

Conținutul termenului „distanță” în algebră este legat de conceptul de spațiu metric și metric .

O mulțime X se numește spațiu metric dacă o astfel de mapare, numită metrică, X² într-o mulțime de numere nenegative este dată astfel încât pentru orice elemente a, b, c ale mulțimii X următoarele axiome, numite Fréchet axiome, țineți :

1) , de altfel, egalitatea este satisfăcută dacă și numai dacă elementele a și b sunt egale; $\rho (a;b)\geq 0$

2) ; $\rho (a;b)=\rho (b;a)$

3) . $\rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)$

Pentru a treia axiomă, un caz special este inegalitatea triunghiului .

Distanța în mulțimea numerelor reale Introducerea valorilor

Pentru mulțimea tuturor numerelor reale, distanța de la numărul a la numărul b este considerată de matematicieni drept număr . $|ab|$

Este ușor de observat că mulțimea numerelor reale cu o metrică dată este un spațiu metric.

Dovada

Prima condiție este îndeplinită, deoarece modulul oricărui număr real din definiție este un număr nenegativ, în plus, modulul numărului este egal cu zero dacă și numai dacă expresia de sub modul este egală cu zero, de unde, dacă egalitatea este satisfăcută, atunci numerele sunt egale.

A doua proprietate este adevărată, deoarece din proprietățile modulului numeric: . $|ab|=|ba|$

A treia proprietate este valabilă, deoarece proprietatea în sine este echivalentă cu , dar , iar modulul sumei nu depășește întotdeauna suma modulelor. $|ab|\leq |ac|+|cb|$ $(ac)+(cb)=ab$

Distanța în mulțimea de perechi de numere reale

Dintre principalele metrici din mulțimea perechilor de numere reale (și în interpretarea grafică - mulțimea tuturor punctelor planului), se disting două: metrica lui Descartes și metrica lui Euclid .

metrica lui Descartes Introducerea valorilor

Pentru mulțimea de perechi de numere reale, metrica lui Descartes este dată:

$\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|$ .

Să ne asigurăm că mulțimea de perechi de numere reale (R²) cu metrica lui Descartes introdusă este un spațiu metric.

Dovada

În mod evident, prima proprietate este valabilă, deoarece suma modulelor, fiecare dintre care este un număr nenegativ, este, de asemenea, un număr nenegativ. Mai mult, egalitatea este satisfăcută dacă și numai dacă ambele expresii de sub modul sunt egale cu zero, dar atunci perechile-elemente considerate ale mulțimii sunt și ele egale.

A doua proprietate este satisfăcută deoarece . $\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|=|ca|+|db|=\rho ((c;d);(a;b))$

Să demonstrăm a treia proprietate:

Să fie date trei perechi de numere reale, (a; b), (c; d), (e; f). Atunci inegalitatea cerută poate fi scrisă în următoarea formă:

$|ac|+|bd|\leq |ax|+|by|+|xc|+|yd|$ . Această inegalitate este adevărată, ceea ce decurge din adăugarea următoarelor două inegalități demonstrate mai devreme:

$|ac|\leq |ax|+|xc|$ și . $|bd|\leq |by|+|yd|$

metrica lui Euclid Introducerea valorilor

Pentru o mulțime de perechi de numere reale, metrica euclidiană este dată:

$\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2)))$ .

Să verificăm că mulțimea R² cu metrica euclidiană introdusă este un spațiu metric.

Dovada

Prima proprietate este valabilă deoarece rădăcina aritmetică a unui număr nenegativ este întotdeauna nenegativă. Dacă, pe de altă parte, egalitatea cu zero este satisfăcută, atunci ambele expresii la pătrat sunt egale cu zero, de unde necesarul este evident.

A doua proprietate este satisfăcută deoarece . $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}={\sqrt {(ca)^{ 2}+(db)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$

Să demonstrăm a treia proprietate:

Să fie date trei perechi de numere reale, (a; b), (c; d), (e; f). Atunci inegalitatea cerută poate fi scrisă în următoarea formă:

${\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2}}}\leq {\sqrt {(ae)^{2}+(bf)^{2}}}+{\ sqrt {(ec)^{2}+(fd)^{2}}}$ . După pătrarea și transformarea acestei expresii, ajungem la următoarea inegalitate:

$(ae)(ec)+(bf)(fd)\leq {\sqrt {((ae)^{2}+(bf)^{2})((ec)^{2}+(fd )^{2})}}$ , ceea ce este adevărat, care rezultă din inegalitatea Cauci-Bunyakovsky (cu o modificare adecvată a diferențelor de numere).

Distanța în geometrie

În geometrie, distanța dintre figuri este lungimea minimă posibilă a segmentului dintre un punct aparținând primei figuri și un punct aparținând celei de-a doua figuri.

Distanța în tehnologie

Distanța dintre obiecte este lungimea unui segment de linie dreaptă care leagă două obiecte. Distanța în acest sens este o mărime fizică cu dimensiunea lungimii, valoarea distanței este exprimată în unități de lungime.

Distanța în fizică

Distanţă
s
Unități
SI	m
GHS	cm

În fizică, distanța este măsurată în unități de lungime , care în majoritatea sistemelor de măsurare este una dintre unitățile de măsură de bază . În Sistemul Internațional de Unități (SI) , unitatea de lungime este metrul . Distanța se mai numește și lungimea drumului parcurs de un obiect. În acest caz, derivata distanței (vector rază) în raport cu timpul este viteza .

Alte utilizări

În proxemică , conceptul de distanță este folosit pentru a descrie spațiul personal al unei persoane.

Vezi și

Note

Literatură

Distanța Zenith // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.