Operator Laplace

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 martie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Operatorul Laplace ( Laplacian , operator delta) este un operator diferențial care acționează în spațiul liniar al funcțiilor netede și notat cu simbolul . El asociază o funcție cu o funcție $\ \Delta$ $F\$

\Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2))+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2)} +\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2}}

în spațiu n - dimensional .

Operatorul Laplace este echivalent cu luarea succesivă a operațiilor de gradient și divergență : , astfel încât valoarea operatorului Laplace într-un punct poate fi interpretată ca densitatea surselor (puituri) ale câmpului vectorial potențial în acel punct. În sistemul de coordonate carteziene, operatorul Laplace este adesea notat astfel [1] , adică ca produsul scalar al operatorului nabla și însuși. Operatorul Laplace este simetric . $\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}$ $\ \operatorname{grad}F$ $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$

Operator Laplace pentru vector : $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\Delta \mathbf {A} = {\Delta }A_{x}\mathbf {i} + {\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{ \partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{x)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$ [2]

Laplacianul unui vector este de asemenea un vector.

O altă definiție a operatorului Laplace

Operatorul Laplace este o generalizare naturală la funcțiile mai multor variabile ale derivatei a doua obișnuite a unei funcții a unei variabile. Într-adevăr, dacă o funcție are o derivată a doua continuă într-o vecinătate a punctului , atunci, după cum urmează din formula Taylor $\f(x)$ $\ x_0$ $\f''(x)$

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

la ,

r\la 0,

\f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

r\la 0,

a doua derivată este limita

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{ 2}-f(x_0)\dreapta\}.

Dacă, trecând la o funcție de variabile, procedăm în același mod, adică pentru un punct dat , considerăm vecinătatea sa sferică -dimensională a razei și diferența dintre media aritmetică $\F$ $\ k$ $M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)$ $\ k$ $\ Q_r$ $\r$

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

funcția la limita unei astfel de vecinătăți cu aria limitei și valoarea în centrul acestei vecinătăți , apoi, în cazul continuității derivatelor parțiale a doua ale funcției în vecinătatea punctului , valoarea lui laplacianul în acest punct este limita $\F$ $\ S_r$ $\ \sigma(S_r)$ $\F(M_0)$ $\M_0$ $\F$ $\M_0$ $\ \Delta F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r }F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.

Concomitent cu reprezentarea anterioară, pentru operatorul Laplace al funcției , care are derivate secunde continue, formula $\F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\ int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},

unde este volumul cartierului

\ \omega(Q_r)

\ Q_r.

Această formulă exprimă relația directă dintre laplacianul unei funcții și volumul mediu al acesteia în vecinătatea unui punct dat.

Dovada acestor formule poate fi găsită, de exemplu, în [3] .

Limitele de mai sus, în toate cazurile în care există, pot servi drept definiție a operatorului Laplace al unei funcții.O astfel de definiție este preferabilă definiției obișnuite a laplacianului, care presupune existența derivatelor secunde ale funcțiilor luate în considerare, și coincide cu definiția uzuală în cazul continuității acestor derivate. $\F.$

Expresii pentru operatorul Laplace în diferite sisteme de coordonate curbilinii

În coordonate curbilinii ortogonale arbitrare în spațiul tridimensional : $q_1,\ q_2,\ q_3$

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\ stânga( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],

unde sunt coeficienţii Lame .

Bună\

Coordonate cilindrice

În coordonatele cilindrice în afara liniei : $\r=0$

\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Coordonate sferice

În coordonatele sferice în afara originii (în spațiul tridimensional):

\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} { \partial^2 f \over \partial \varphi^2}

\Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \ varphi^2}.

Dacă în spațiul n - dimensional: $\f=f(r)$

\Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Coordonate parabolice

În coordonatele parabolice (în spațiul tridimensional) în afara originii:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left ( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\ partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Coordonate parabolice cilindrice

În coordonatele unui cilindru parabolic în afara originii:

\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2 }F}{\partial u^{2))}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2))}\right]+{\frac {\partial ^{2} F}{\partial z^{2}}}.

Coordonate curbilinii generale și spații riemanniene

Fie dat un sistem de coordonate local pe o varietate netedă și să fie un tensor metric riemannian pe , adică metricul are forma $X$ $g_{ij}$ $X$

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j

Notăm prin elementele matricei și $g^{ij}$ $(g_{ij})^{-1}$

g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}

Divergența unui câmp vectorial dat de coordonate (și reprezentând un operator diferențial de ordinul întâi ) pe o varietate X este calculată prin formula $F$ $F^i$ $\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i )

și componentele gradientului funcției f , conform formulei

(\nabla f)^{j}=\sum _{{i=1}}^{n}g^{{ij}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.

Operatorul Laplace- Beltrami pe : $X$

\Delta f=\operatorname {div}(\nabla f)={\frac {1}({\sqrt {g))))\sum _{{i=1))^{n}{\frac {\ parțial }{\partial x^{i))}{\Big (}{\sqrt {g))\sum _{{k=1))^{n}g^{{ik)){\frac {\ parțial f}{\partial x^{k))}{\Big )}.

Valoarea este scalară, adică nu se schimbă atunci când coordonatele sunt transformate. $\Delta f$

Aplicație

Folosind acest operator, este convenabil să scrieți ecuațiile Laplace , Poisson și ecuația de undă . În fizică, operatorul Laplace este aplicabil în electrostatică și electrodinamică, mecanică cuantică , în multe ecuații ale fizicii continue și în studiul echilibrului membranelor, filmelor sau interfețelor cu tensiunea superficială (vezi presiunea Laplace ), în problemele staționare ale difuzia si conducerea termica, care se reduc, in limita continua, la ecuatiile obisnuite Laplace sau Poisson sau la unele dintre generalizarile acestora.

Variante

Operatorul D'Alembert este o generalizare a operatorului Laplace pentru ecuații hiperbolice . Include derivata a doua în raport cu timpul.
Operatorul Laplace vectorial este o generalizare a operatorului Laplace pentru cazul unui argument vectorial .

Vezi și

Operator Nabla
operator D'Alembert
Ecuația Laplace
functie armonica
matricea Kirchhoff
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich „Dicționar matematic al învățământului superior”. Editura MPI 1984.

Note

↑ Trebuie evitată notația pentru operatorul Laplace sub forma pătratului operatorului nabla , deoarece nu este clar dintr-o astfel de notație dacă produsul scalar sau vectorial se înțelege prin pătrat.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Dicționar matematic al școlii superioare”. Editura MPI 1984. Articolul „Operator Laplace” și „Rotor de câmp vectorial”.
↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Introducere în teoria funcțiilor armonice. M. Știință. 1968. 208s.

Link -uri

Descrierea MathWorld a lui Laplacian Arhivată 17 iunie 2020 la Wayback Machine

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare