Ecuație cu un parametru mic

O ecuație cu un parametru mic este o ecuație diferențială scalară sau vectorială în care există un coeficient , care este mic în comparație cu altele. Acest parametru poate fi în partea dreaptă a ecuației diferențiale și se vorbește despre o perturbare regulată a ecuației. În plus, un parametru mic poate sta la cea mai mare derivată, caz în care se vorbește despre o perturbație singulară.

Problemă Cauchy perturbată în mod regulat (problema inițială):

{\begin{cases}{\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^ {0}\end{cazuri}}

în anumite condiții în partea dreaptă, soluția sa există, este unică și, în plus, are o dependență continuă de parametrul mic . $\varepsilon$

Pentru a rezolva ecuații cu un parametru mic în fizica matematică , se folosesc metode speciale. Acest lucru se datorează prezenței diferitelor efecte, inclusiv efectul stratului limită .

Uneori, o ecuație cu un parametru mic este, de asemenea, înțeleasă ca o ecuație în care un parametru mic se află la derivata normală în condiția de limită naturală.

Adesea, în aplicații există probleme în care un parametru mic este la cea mai mare derivată, de exemplu:

{\begin{cases}\varepsilon {\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )= y^{0}\end{cazuri}}

O astfel de problemă este de obicei numită perturbată singular. Dacă setăm în mod formal un parametru mic egal cu zero, atunci prima ecuație a sistemului va înceta să mai fie diferențială. Din acest motiv, soluția ecuației poate să nu satisfacă valoarea inițială . În astfel de probleme se poate observa efectul stratului limită. Soluția din apropierea cartierului din dreapta suferă o schimbare bruscă. Această regiune este caracterizată de gradienți mari și este adesea denumită regiunea stratului limită. Pentru rezolvarea unor astfel de sisteme se folosesc metode asimptotice. Cele mai faimoase dintre ele sunt metoda Tikhonov și metoda Vasilyeva . $0=f(y,t,0)$ $y^{0}$ $t=0$

Literatură

Ecuații diferențiale cu un parametru mic la derivate - articol din Encyclopedia of Mathematics . A. V. Vasilieva