Inegalitatea lui Bernoulli

Inegalitatea lui Bernoulli afirmă [1] : dacă , atunci $x>-1$

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx

pentru toate naturale

n\geqslant 1.

Dovada

Dovada inegalității se realizează prin metoda inducției matematice pe n . Pentru n = 1, inegalitatea este evident adevărată. Să spunem că este adevărat pentru n , să demonstrăm că este adevărat pentru n +1:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x =1+(n+1)x

h.t.d.

Inegalitate Bernoulli generalizată

Inegalitatea generalizată Bernoulli afirmă [1] că pentru și : $x > -1 \!\$ $n\in\mathbb{R}$

dacă , atunci $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
dacă , atunci $n\in(0;1) \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
în timp ce egalitatea se realizează în două cazuri: $\left[\begin{matrice} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrice}\right.$

Dovada

Luați în considerare și . Derivată la , din moment ce . Funcția este de două ori diferențiabilă într-o vecinătate perforată a punctului . Prin urmare . Primim: $f(x)=(1+x)^n-nx \!\$ $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$
$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ $x=x_0=0 \!\$ $n \neq 0 \!\$
$f\!\$ $x_0 \!\$ $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$

$f''(x)>0 \!\$ ⇒ la $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
$f''(x)<0 \!\$ ⇒ la $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(0;1) \!\$

Valoarea funcției , prin urmare, următoarele afirmații sunt adevărate: $f(x_0)=1 \!\$

dacă , atunci $n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
dacă , atunci $n\in(0;1] \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Este ușor de observat că pentru valorile corespunzătoare ale sau , funcția . În acest caz, în inegalitatea finală, restricțiile privind , date la începutul demonstrației, dispar, deoarece egalitatea este valabilă pentru ele. ■ $x_0=0 \!\$ $n=0, n=1 \!\$ $f(x)=f(x_0) \!\$ $n\!\$

Note

Inegalitatea este valabilă și pentru (la ), dacă excludem cazul în care zero se obține la puterea lui zero . Dovada cazului poate fi efectuată prin aceeași metodă de inducție matematică: $x\geqslant-2$ $n\in\mathbb{N}_0$ $x\în\stânga[-2,-1\dreapta)$

(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1 +x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).

De când este mulțumit , atunci . $x\în\stânga[-2,-1\dreapta)$ $(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$ $(1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x$

Note

↑ 1 2 Bronstein, Semendyaev, 1985 , p. 212.

Literatură

Bronshtein IN , Semendyaev KA Manual de matematică pentru ingineri și elevi de liceu . - ed. al 13-lea. - M. : Nauka, 1985. - 544 p.