Inegalitatea lui Cebyshev

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 17 februarie 2022; verificările necesită 5 modificări .

Inegalitatea lui Cebyshev (sau inegalitatea lui Bieneme-Chebyshev ) este o inegalitate în teoria măsurării și teoria probabilității . A fost obținut pentru prima dată de Bieneme în 1853, iar mai târziu și de Cebyshev (în articolul „La valori medii” din 1867).

Inegalitatea folosită în teoria măsurii este mai generală; în teoria probabilității, este folosit corolarul acesteia.

Inegalitatea lui Cebyshev în teoria măsurării

Inegalitatea Chebyshev în teoria măsurării descrie relația dintre integrala Lebesgue și măsură . Un analog al acestei inegalități în teoria probabilității este inegalitatea Markov . Inegalitatea lui Cebyshev este, de asemenea, folosită pentru a demonstra încorporarea unui spațiu $L_{p}$ într -un spațiu slab .

Formulări

Fie un spațiu cu măsură . Lasa si $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$
- $A\în {\mathcal {F}}$
- $\phi (x)\geqslant 0$ este însumabil pe o funcție $A$
- $c>0$ .

Atunci inegalitatea este adevărată:

\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c))\int \limits _{A }\phi (x)\mu (dx)

Mai general:

Dacă este o funcție măsurabilă reală nenegativă care este nedescrescătoare pe domeniul definiției , atunci

g

\phi

\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{ A}g\circ \phi \,\mu (dx).

Din punct de vedere al spațiului : $L_{p}$

Lasă . Apoi

\phi (x)\in L_{p}

\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\ frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.

Inegalitatea lui Cebyshev poate fi obținută ca o consecință a inegalității lui Markov.

Inegalitatea lui Cebyshev în teoria probabilității

Inegalitatea lui Cebyshev în teoria probabilității afirmă că o variabilă aleatorie ia în general valori apropiate de medie . Mai precis, oferă o estimare a probabilității ca o variabilă aleatorie să ia o valoare care este departe de medie.

Inegalitatea lui Cebyshev este o consecință a inegalității lui Markov .

Formulări

Fie definită o variabilă aleatoare pe un spațiu de probabilitate , iar așteptarea și varianța ei matematică să fie finite. Apoi $X\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}

unde . $a>0$

Dacă , unde este abaterea standard și , atunci obținem $a=k\sigma$ $\sigma$ $k>0$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}

În special, o variabilă aleatoare cu varianță finită se abate de la medie cu mai mult decât abaterile standard, cu o probabilitate mai mică de . Abate de la medie prin abateri standard cu o probabilitate mai mică de . Cu alte cuvinte, variabila aleatoare se încadrează în abaterile standard cu probabilitate și abaterile standard cu probabilitate $2$ $25\%$ $3$ $11,12\%$ $2$ $75\%$ $3$ $88,88\%$

Pentru cel mai important caz al distribuțiilor unimodale , inegalitatea Vysochansky-Petunin întărește semnificativ inegalitatea Cebyshev, inclusiv fracția 4/9. Astfel, limita în abaterile standard include valorile variabilei aleatoare. Spre deosebire de distribuția normală , unde abaterile standard includ valorile unei variabile aleatorii. $3$ $95,06\%$ $3$ $99,73\%$

Vezi și

Literatură

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - ed. al patrulea, revizuit. - M. : Nauka, 1976. - 544 p.

grup de autori. Colecția de matematică din Moscova. - M. , 1867. - T. 2.

Inegalitatea lui Cebyshev

Inegalitatea lui Cebyshev în teoria măsurării

Formulări

Inegalitatea lui Cebyshev în teoria probabilității

Formulări

Vezi și

Literatură

Link -uri