Ecuația dinamicii generale

Ecuația generală a mecanicii este o formulare matematică a principiului d'Alembert-Lagrange , care oferă o metodă generală de rezolvare a problemelor de dinamică și statică și este unul dintre principiile de bază ale mecanicii teoretice .( [1] P.142) Aceasta principiul combină principiul posibilelor deplasări și principiul d'Alembert

Echilibrul unui sistem mecanic

Pentru un corp liber , adică un corp asupra căruia nu sunt impuse constrângeri, condiția de echilibru în sistemul de coordonate carteziene este determinată de egalitatea la zero a sumelor proiecțiilor forțelor care acționează asupra fiecărei componente a sistemului pe axele de coordonate și sumele tuturor momentelor de forță aplicate corpului față de aceste axe:

$\Sigma F_{x}(i)=\Sigma F_{y}(i)=\Sigma F_{z}(i)=0$ (unu)

și (2) $\Sigma (M_{x}(i)=\Sigma (M_{y}(i)=\Sigma (M_{z}(i))=0)$

Îndeplinirea acestor condiții va indica faptul că cadrul de referință ales este inerțial și, prin urmare, în acest cadru de referință corpul fie va fi în repaus, fie se va mișca fără a se întoarce (inclusiv rotația) uniform și rectiliniu ( [1] P.601)

Dar indeplinirea acestor conditii nu este suficienta pentru ca echilibrul sa fie mentinut indiferent de influentele externe asupra sistemului. Pentru aceasta, trebuie să fie durabilă .

Echilibrul sistemului este considerat stabil dacă, cu o ușoară încălcare a conservatorismului său, adică o modificare a sumei energiilor sale cinetice și potențiale ( [1] P. 309) prin influență externă, componentele sale se abat ușor de la poziția de echilibru. și să revină la ea după încetarea influenței.

Pentru sistemele conservatoare , condiția suficientă pentru echilibrul sistemului este determinată de teorema Lagrange-Dirichlet , conform căreia echilibrul este stabil dacă poziția echilibrului său corespunde energiei potențiale minime ( [1] P. 797).

Conexiuni mecanice

Dacă corpul nu este liber din cauza legăturilor impuse acestuia, cele din formulele (1) și (2) care nu se referă la reacțiile legăturilor vor determina echilibrul sistemului. Restul ecuațiilor oferă informații care fac posibilă determinarea reacțiilor legăturilor, ceea ce devine posibil dacă legăturile fixează rigid sistemul, împiedicând orice mișcare în acesta ( [1] P.601). În caz contrar, necesitatea de a lua în considerare reacțiile de cuplare și de a le introduce în ecuația mișcării creează o problemă care nu este în niciun caz întotdeauna rezolvabilă. [2]

Principiul posibilelor deplasări

O modificare a stării unui sistem mecanic este determinată de o modificare a coordonatelor acestuia , care determină numărul de grade de libertate . În multe cazuri, numărul acestora este limitat de conexiuni, care împiedică anumite modificări prin forța care acționează asupra componentelor sistemului. Posibilitățile rămase de modificare a coordonatelor sunt determinate de posibilele deplasări .

Principiul posibilelor deplasări este unul dintre principiile variaționale din știința mișcării corpurilor. Stabilește o condiție generală de echilibru pentru un sistem mecanic. În acest caz, echilibrul este înțeles ca o astfel de stare a unui sistem mecanic supus influenței forțelor, în care toate punctele materiale care formează sistemul nu își schimbă poziția, adică sunt în repaus față de acest sistem. Dacă acest echilibru este observat într-un cadru inerțial , un astfel de echilibru se numește absolut , într-un cadru non-inerțial echilibrul va fi doar relativ .( [1] P.601)

Acest principiu spune:

Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu legături ideale (fără muncă), este necesar și suficient ca suma muncii tuturor forțelor active aplicate sistemului la orice deplasare posibilă a sistemului să fie egală cu zero ( [1] pag. 81)

$\Sigma (\delta A(i)=\Sigma (F(i)\cos \alpha (i)\delta s(i)=0$ (3)

$\delta A(i)$ există o muncă elementară efectuată de „forțe active” îndreptate într-un unghi față de direcția deplasării virtuale $F(i)$ $\alpha (i)$ $\delta s(i)$

Rezerva cu privire la forțele active prevede absența forțelor inerțiale, adică luarea în considerare a posibilelor deplasări într-un cadru de referință inerțial.

Este esențial ca numărul de forțe active să includă și reacții ale legăturilor care sunt dificile și, în unele cazuri, deloc susceptibile de descriere matematică. În acest caz, se dovedește a fi eficient să se introducă în considerare legături absolut rigide , care nu sunt deformabile și, prin urmare, nu efectuează lucrări. Ca și cadrele de referință inerțiale , astfel de legături sunt o abstractizare, acceptabilă doar cu condiția ca erorile rezultate din acceptarea lor să nu depășească valoarea convenită anterior. Dar, presupunând că legăturile sunt absolut rigide, este posibil, la rezolvarea problemei de echilibru a unui sistem mecanic din punctul de vedere al principiului posibilelor deplasări, să se excludă în general din considerare reacția legăturii .( [2) . ] P.178 −189)

principiul lui d'Alembert

În cazul luării în considerare a sistemelor mecanice care nu sunt în stare de echilibru, reacțiile de cuplare nu pot fi ignorate. Totuși, menținând ipoteza rigidității absolute a acestor legături, reiese că în acest caz conceptul de legătură și-a pierdut conținutul fizic și a dispărut posibilitatea exprimării reacțiilor legăturilor în funcție de coordonate [2]. ] , prin urmare, este imposibil să scrieți ecuații diferențiale ale mișcării.

O cale de ieșire din această dificultate a fost propusă de d'Alembert.

A doua lege a lui Newton se scrie sub forma:

${m_{i}}{\vec a}$ = + (4) ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}_{b},$

unde forța de reacție a legăturilor se adaugă forței care acționează asupra corpului ${\vec F}_{b}$

Apoi toți termenii egalității sunt transferați la stânga:

( - ) + = 0 (5) ${\vec {F}}$ ${m_{i}}{\vec a}$ ${\vec F}_{b}$

Există o apariție a unui echilibru de forțe, care face posibilă aplicarea formală a principiului posibilelor deplasări. Și de aceea aici a devenit posibil să nu se ia în considerare forțele de reacție ale legăturilor [2] .

Dar forța (- ) nu este altceva decât forța de reacție din a treia lege a lui Newton sau forța de inerție newtoniană , neaplicată corpului. Aici, datorită unei tehnici artificiale, este atașat acestui corp. S-a creat astfel o situație paradoxală, care constă în faptul că asupra corpului acționează forțe care se compensează reciproc, dar corpul, totuși, se mișcă cu accelerație. ${m_{i}}{\vec a}$

Prin urmare, forța (- ), care se numește forța de inerție d'Alembert datorită faptului că nu este o consecință a unor procese fizice obiective, ci un produs al voinței subiective, este cu siguranță fictivă [2] . ${m_{i}}{\vec a}$

Principiul d'Alembert-Lagrange

La început , principiul d'Alembert nu conținea nicio mențiune despre forțele de inerție. Dar cu timpul, sub vectorul (- ) a început să se înțeleagă forța de inerție [3] (Referință în [2] P.131). ${m_{i}}{\vec a}$

Într-un sistem mecanic cu conexiuni ideale, suma muncii elementare efectuate de forțele active și forțele de inerție pe orice deplasare posibilă (virtuală) este egală cu zero.

Ecuația generală a dinamicii

Este scris astfel:

\Sigma (\delta A_{a}(i)+\delta A_{j}(i))=0

(6)

sau altfel:

\Sigma (F_{a}(i)\cos \alpha (i)+F_{j}(i)\cos \beta (i))\delta s(i)=0.

(7)

Aici există munca elementară efectuată de „forțele active” - indicele x = a (adică forțele a căror origine poate fi urmărită în principiu) și forțele de inerție Euler indicele - x = j (adică forțele care apar ca urmare a acțiunii lui ). alte forțe active nu asupra ei însuși i -a componentă a sistemului, ci asupra cadrului de referință, care, ca urmare, și-a schimbat accelerația). $\delta A_{x}(i)$

În (7) se presupune că munca este cauzată de o forță îndreptată la un unghi pentru forța activă și la un unghi pentru forța de inerție față de direcția deplasării virtuale . $F_{x}(i)$ $\alpha (i)$ $\beta (i)$ $\delta s(i)$

Notă

Ecuația generală a mecanicii ia în considerare munca forțelor inerțiale împreună cu munca forțelor active. Aceasta înseamnă că din punctul de vedere al principiilor generale ale mecanicii în raport cu forțele de inerție (mai precis, forțele de inerție Euler) „... trebuie recunoscut că nu avem niciun motiv întemeiat să ne îndoim de realitatea forțelor. de inerție...” ( [2] p. 178)

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Dicționar enciclopedic fizic / Cap. ed. A. M. Prohorov. Roșu.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov și alții - M .: Enciclopedia Sov., 1983.-323 p., il, 2 foi de culoare ill.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Khaykin, Semyon Emmanuilovici . Forțe de inerție și imponderabilitate . M., 1967. Editura „Nauka”. Ediția principală a literaturii fizice și matematice.
↑ Colecția Nikolai E. L. „Proceedings of the Leningrad Industrial Institute” Nr. 6,1936, ONTI, Leningrad