Sistem de coordonate ortogonal

Coordonatele curbilinie se numesc ortogonale , în care tensorul metric are o formă diagonală.

ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2}

unde este dimensiunea spațiului. factor scalar $n$

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ mathbf {e} _{k}|

este egală cu rădăcina pătrată a componentelor diagonale ale tensorului metric sau lungimea vectorului de bază local . $\mathbf {e} _{k)$

În sistemele de coordonate ortogonale, suprafețele de coordonate sunt ortogonale între ele. În special, în sistemul de coordonate carteziene, axele de coordonate și sunt ortogonale între ele . $\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots,q^{n})$ $Bou$ $Oi$ $Oz$

Alegerea unui sistem de coordonate ortogonale este determinată de simetria sistemului. De exemplu, atunci când se rezolvă problema propagării unei unde electromagnetice dintr-o sursă punctuală, este avantajos să se utilizeze un sistem de coordonate sferice ; la rezolvarea problemei oscilațiilor membranei, este de preferat un sistem de coordonate cilindric .

Transformări matematice

Vectori de bază

În sistemele ortogonale, produsul scalar al vectorilor de bază este:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf { e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matrice}}\right.$

În cele mai multe cazuri, se folosesc vectori de bază normalizați, pentru care . $\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i)} {\left|\mathbf {e} _{i} \dreapta|}}$

Pentru vectorii de bază normalizați , unde este simbolul Kronecker . $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij)$ $\delta _{ij)$

Produs punct

Produsul scalar al vectorilor din sistemele ortogonale se calculează prin formula:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum _ {k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}x^{k }y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}