Perioada Pisano

Perioada Pisano este lungimea perioadei șirului Fibonacci modulo un număr natural dat m . $\pi (m)$

Exemple

De exemplu, să definim perioada Pisano la . Fie --lea număr Fibonacci. este restul împărțirii celui de-al-lea număr Fibonacci la . Prin completarea următorului tabel, $m=4$ $F_{i}$ $i$ $F_{i}\mod m$ $i$ $m$

Definiție la

\pi (m)

m=4

$i$	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece	cincisprezece	16	17	optsprezece	…
$F_{i)$	unu	unu	2	3	5	opt	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	…
$F_{i}\mod m$	unu	unu	2	3	unu	0	unu	unu	2	3	unu	0	unu	unu	2	3	unu	0	…

rețineți că primele șase numere (0, 1, 1, 2, 3, 1) ale șirului se repetă la infinit, ceea ce înseamnă că pentru perioada Pisano este egală cu șase: . $\{F_{i}\mod m\}$ $m=4$ $\pi (4)=6$

Secvența formată din perioade Pisano a primit numărul A001175 , iar începutul ei este prezentat în tabelul următor.

$m$	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece	cincisprezece	16
$\pi (m)$	unu	3	opt	6	douăzeci	24	16	12	24	60	zece	24	28	48	40	24

Periodicitate

Secvența Fibonacci modulo orice număr natural este periodică, deoarece printre primele perechi de numere există două perechi egale pentru unele . Prin urmare, pentru toate k naturale , , adică , succesiunea este periodică. $m$ $m^{2}+1$ $(x_{i},x_{i+1})\equiv (x_{j},x_{j+1}){\pmod {m))$ $i\leqslant j$ $x_{i+k}\equiv x_{j+k}{\pmod {m))$

Proprietăți

Dacă a și b sunt relativ prime , atunci . Sau, dacă sunt luate în considerare în factori primi : , atunci (o consecință a teoremei chineze a restului ). $\pi (ab)=\mathrm {HOK} \left(\pi (a),\pi (b)\right)$ $m$ $m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k }}$ $\pi (m)=\mathrm {HOK} \left(\pi (p_{1}^{\alpha _{1))),\pi (p_{2}^{\alpha _{2} }\dreapta),\ldots ,\pi (p_{k}^{\alpha _{k))))$

$\pi (m)=\sigma (m)\cdot \sigma _{0}(m)$ , unde în urmă este numărul de zerouri din perioadă, iar în urmă este indicele primului zero (fără numărare ). Mai mult, se știe că . $\sigma (m)\;$ $\sigma _{0}(m)\;$ $F_{0}$ $\sigma (m)\in \{1,2,4\)$

Pentru un număr prim și un întreg , . Mai mult, pentru toate puterile exacte ale numerelor prime de la 1 la un milion, . Dar încă nu se știe (vezi problemele matematice deschise ) dacă această egalitate este valabilă pentru toate numerele și dacă există p astfel încât . $p$ $k\geqslant 1$ $\pi (p^{k})|p^{k-1}\cdot \pi (p)$ $\pi (p^{k})=p^{k-1}\cdot \pi (p)$ $\pi (p^{2})=\pi (p)$

Dacă este un număr prim, atunci următoarele afirmații sunt adevărate: $p$
- când numărul este un divizor ; $p\equiv \pm 1{\pmod {5}}$ $\pi (p)$ $p-1$
- când numărul este un divizor . $p\equiv \pm 2{\pmod {5}}$ $\pi (p)$ $2\cdot p+2$

Pentru toate numerele întregi pozitive , inegalitatea este adevărată , iar egalitatea în ea se realizează numai pe numerele de forma . $m$ $\pi (m)\leqslant 6\cdot m$ $m=2\cdot 5^{k)$

Link -uri

Charles W. Campbell II, „Perioada secvenței Fibonacci Modulo j” , Math 399, primăvara 2007
Marc Renault, „Secvența Fibonacci modulo m”
N. N. Vorobyov. Numerele Fibonacci . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Prelegeri populare de matematică ).