Funcţia plurisubarmonică

O funcție plurisubarmonică este o funcție cu valori reale , de variabile complexe într-un domeniu de spațiu complex , , care îndeplinește următoarele condiții: $u=u({\vec {z)})$ $n$ ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots,\;z_{n})$ $D$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n\geqslant 1$

$u(z)$ este semicontinuu superior peste tot în ; $D$
$u(z_{0}+\lambda a)$ este o funcție subarmonică a variabilei în fiecare componentă conexă a mulțimii deschise pentru orice puncte fixe , . $\lambda \in \mathbb {C}$ $\{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\)$ $z_{0}\in D$ $a\in \mathbb {C} ^{n}$

Exemple

$\ln |f(z)|$ , pentru , unde este o funcție holomorfă în . $|f(z)|^{p)$ $p\geqslant 0$ $f(z)$ $D$

Definiții înrudite

O funcție se numește funcție plurisuperarmonică dacă există o funcție plurisubarmonică. $v(z)$ $-v(z)$

Proprietăți

Funcțiile plurisubarmonice sunt subarmonice, dar inversul nu este adevărat pentru . $n>1$

În plus față de proprietățile generale ale funcțiilor subarmonice, următoarele sunt valabile pentru funcțiile plurisubarmonice:

$u(z)$ este o funcție plurisubarmonică în domeniu dacă și numai dacă este o funcție plurisubarmonică în vecinătatea fiecărui punct ; $D$ $u(z)$ $z\in D$
o combinație liniară de funcții plurisubarmonice cu coeficienți pozitivi este o funcție plurisubarmonică;
limitele unei secvențe uniform convergente și monoton descrescătoare de funcții plurisubarmonice sunt plurisubarmonice;
pentru orice valoare medie punct $z_{0}\in D$

\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u

peste o sferă de rază , este o funcție crescătoare peste , convexă față de interval , dacă bila este situată la ; $r$ $r$ $\ln r$ $0<r<R$ $B_{R}(z_{0})$ $D$

sub mapări holomorfe , funcția plurisubarmonică devine plurisubarmonică;
dacă este o funcție plurisubarmonică continuă în domeniu , este o submulțime analitică conexă închisă și restricția atinge maximul pe , apoi pe . $u(z)$ $D$ $E$ $D$ $u|_{E}$ $E$ $u(z)=\mathrm {const}$ $E$

Vezi și

funcţia pluriarmonică

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. În 2 volume. — M.: Nauka, 1976. — 720 p.
Fuchs B.A. Capitole speciale ale teoriei funcţiilor analitice ale mai multor variabile complexe. - Moscova: Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1963. - 428 p.