Diferențierea funcției complexe

Regula lanțului ( regula de diferențiere a unei funcții complexe ) vă permite să calculați derivata compoziției a două sau mai multe funcții pe baza derivatelor individuale. Dacă o funcție are o derivată la , iar o funcție are o derivată la , atunci funcția complexă are și o derivată la . $f$ $x_{0}$ $g$ $y_{0}=f(x_{0})$ $h(x)=g(f(x))$ $x_{0}$

Caz unidimensional

Să fie date funcții definite în vecinătăți pe dreapta reală, unde și Fie și aceste funcții diferențiabile: Atunci compoziția lor este și diferențiabilă: iar derivata ei are forma: $f:U(x_{0})\la V(y_{0}),$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).

Notă

În notația Leibniz, regula lanțului pentru calcularea derivatei funcției unde ia următoarea formă: $y=y(x),$ $x=x(t),$

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Invarianța formei primei diferenţiale

Diferenţialul unei funcţii într-un punct are forma: $z=g(y)$ $y_0$

dz=g'(y_{0})\,dy,

unde este diferența mapării identice : $dy$ $y\la y_{0}$

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Să fie acum Atunci și conform regulii lanțului: $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D))(x_{0}).$ $dy=f'(x_{0})\,dx$

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Astfel, forma primei diferenţiale rămâne aceeaşi indiferent dacă variabila este sau nu o funcţie.

Exemplu

Fie Atunci funcția poate fi scrisă ca o compoziție unde $h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;$ $h\;$ $h=g\circ f,$

f(x)=3x^{2}-5x,\;

g(y)=y^{7}.\;

Diferențierea acestor funcții separat:

f'(x)=6x-5,\;

g'(y)=7y^{6},\;

primim

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Caz multidimensional

Să fie date funcțiile unde și . Fie și aceste funcții să fie diferențiabile: și Atunci compoziția lor este și ea diferențiabilă, iar diferența sa are forma $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\la V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{p}.$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$

dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})

În special, matricea Jacobi a unei funcții este produsul matricelor Jacobi ale funcțiilor și $h$ $g$ $f:$

{\frac {\partial (h_{1},\ldots,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots,x_{m)))))={\frac {\ parțial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\cdot {\frac {\partial (y_{1}, \ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m))))).

Consecințele

Jacobianul alcătuirii a două funcții este produsul jacobienilor al funcțiilor individuale: $\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots,x_{n)))))\right \ vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\right \vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\ dreapta\vert .$

Pentru derivatele parțiale ale unei funcții complexe,

${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j)}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_ {0})}{\partial y_{i))}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j))},\quad j=1,\ldots m.$

Exemplu

Să fie dată o funcție de trei variabile și este necesar să se găsească derivata ei parțială în raport cu variabila . Funcția poate fi scrisă ca unde $h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3))}\;$ $X$ $h\;$ $h(x,y,z)=f(u,v,w),$