Axioma lui Arhimede

Axioma lui Arhimede , sau principiul lui Arhimede , sau proprietatea lui Arhimede este o propoziție matematică numită după matematicianul grec antic Arhimede . Pentru prima dată această propunere a fost formulată de Eudoxus din Cnidus în teoria sa a raporturilor cantităților (conceptul de cantitate al lui Eudoxus acoperă atât numere , cât și cantități continue: segmente , arii , volume [1] ):

Dacă există două cantități, și , și mai puțin decât , atunci luând sumand de suficientă ori, puteți depăși : $A$ $b$ $A$ $b$ $A$ $b$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.

De exemplu, pentru segmente, axioma lui Arhimede sună astfel: dacă sunt date două segmente, atunci lăsându-l deoparte pe cel mai mic de destule ori, îl poți acoperi pe cel mai mare.

Afirmația axiomei lui Arhimede pare banală, dar adevăratul său sens constă în absența unor cantități infinitezimale și/sau infinit de mari . Deci, această axiomă nu este îndeplinită în analiza non-standard : mulțimea numerelor hiperreale conține valori infinitezimale și infinit de mari . Este posibil ca astfel de elemente să nu satisfacă axioma lui Arhimede. Alte exemple sunt posibile .

Structurile matematice pentru care proprietatea Arhimede este valabilă se numesc Arhimede , de exemplu, câmpul Arhimedean și grupul Arhimedean , iar cele pentru care nu este valabilă se numesc non-Arhimede .

Istorie

Axioma , cunoscută în matematică ca axioma lui Arhimede, a fost de fapt formulată pentru prima dată de Eudoxus din Cnidus . Această propoziție a jucat un rol cheie în teoria sa a relațiilor, care a fost în esență prima teorie axiomatică a numărului real . Prin urmare, este numită și axioma lui Eudoxus .

Teoria lui Eudoxus a ajuns la noi în expunerea lui Euclid ( Începuturile , Cartea a V-a).

Se spune că valorile sunt legate între ele dacă, luate în multipli, se pot depăși.„Începuturi”, cartea V, definiția 4 [2]

Axioma Eudoxus-Arhimede stă la baza așa-numitei „metode a epuizării” , inventată de Eudoxus, o metodă pentru găsirea ariilor figurilor, volumelor corpurilor, lungimii arcului folosind un analog al sumelor moderne Riemann și Darboux . Cu ajutorul metodei sale, Eudoxus a demonstrat riguros mai multe teoreme privind calculul ariilor și volumelor. Cu toate acestea, Arhimede a obținut cele mai mari rezultate în acest domeniu. Folosind metoda Eudoxus, el a găsit o serie de zone și volume noi. În același timp, întrucât în Grecia antică nu exista conceptul de secvență , limită de secvență , Arhimede a trebuit să repete din nou raționamentul în fiecare problemă specifică. Astfel, în scrierile sale, Arhimede a formulat și folosit axioma Eudox-Arhimede. În același timp, Arhimede însuși în introducerea la „ Cadatura parabolei ” subliniază că această axiomă a fost folosită de predecesorii săi și a jucat un rol semnificativ în lucrările lui Eudoxus [3] .

În analiza matematică

Principiul lui Arhimede este destul de important atât teoretic, cât și din punct de vedere al utilizării specifice în măsurători și calcule [4] .

Bazat pe caracterul complet al numerelor reale , principiul lui Arhimede necesită în general dovezi, în timp ce cu alte axiomatice este adesea inclus în lista de axiome.

Formulare: (pentru fiecare număr real pozitiv există un număr natural care este mai mare decât acesta) $\forall a\in \mathbb {R} :a>0\\exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Dovada: Presupunem contrariul, prin urmare , este limita superioară. Prin teorema muchiei alegem , atunci , dar , pentru care , care contrazice existența lui , și, prin urmare, este nemărginit de sus, care la rândul său este echivalent cu . H. t. d. $\forall n\in \mathbb {N} :n\leqslant a$ $A$ $b=\sup \mathbb {N}$ $\există k\in \mathbb {N} :k>b-1$ $k'=k+1:k'\in \mathbb {N}$ $k'>b$ $b$ $\mathbb {N}$ $\forall a\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Înmulțind cu un anumit număr de normalizare, obținem în esență inegalitatea indicată la începutul articolului. $a,n$

Definiție modernă

Un grup ordonat liniar

Fie un grup ordonat liniar și elemente pozitive ale . Se spune că un element este infinit mic în raport cu elementul (a este infinit mare în raport cu ) dacă pentru orice număr natural inegalitatea $G$ $A$ $b$ $G$ $A$ $b$ $b$ $A$ $n$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b.

Un grup se numește arhimedean dacă axioma lui Arhimede este valabilă pentru el: nu există o pereche de elemente astfel încât - să fie infinitezimal față de . $G$ $G$ $A$ $b$ $A$ $b$

Câmp ordonat

Fie un câmp ordonat . Deoarece orice câmp ordonat este un grup ordonat liniar, atunci toate definițiile de mai sus ale elementelor infinit de mici și infinit de mari, precum și formularea axiomei lui Arhimede, rămân valabile. Cu toate acestea, există o serie de caracteristici specifice aici, datorită cărora formularea axiomei lui Arhimede este simplificată. $K$

Fie elemente pozitive ale . $a,b$ $K$

un element este infinitezimal față de un element dacă și numai dacă este infinitezimal față de (astfel de elemente se numesc pur și simplu infinitezimal ) $A$ $b$ $a/b$ $1\în K$
un element este infinit de mare în raport cu un element dacă și numai dacă este infinit de mare în raport cu (astfel de elemente sunt numite pur și simplu infinit de mari ) $A$ $b$ $a/b$ $1\în K$

Elementele infinitezimale și infinitezimale sunt combinate sub denumirea de elemente infinitezimale .

În consecință, formularea axiomei lui Arhimede este simplificată: un câmp ordonat are proprietatea lui Arhimede dacă nu conține elemente infinit de mici sau, în mod echivalent, dacă nu conține elemente infinit de mari. Dacă extindem aici definiția unui element infinit de mic (sau infinit de mare), atunci obținem următoarea formulare a axiomei lui Arhimede: $K$

Pentru fiecare element de câmp există un element natural astfel încât $A$ $K$ $n$ $n>a$

Sau, formularea echivalentă:

Pentru fiecare element pozitiv al domeniului, există un element natural astfel încât $\varepsilon >0$ $n$ $1/n<\varepsilon$

Exemple și contraexemple

Mulțimea numerelor reale

Cel mai faimos exemplu de câmp arhimedian este mulțimea numerelor reale . Dacă considerăm mulțimea numerelor reale ca o completare a mulțimii numerelor raționale (de exemplu, cu ajutorul secțiunilor Dedekind ), atunci proprietatea lui Arhimede pentru numerele reale rezultă din faptul că numerele raționale o au. Într-unul dintre sistemele de axiome ale numerelor reale, care a fost propus de Hilbert [5] , mulțimea numerelor reale este definită ca câmpul ordonat arhimedian maxim, adică un câmp ordonat care satisface axioma lui Arhimede (adică nu nu conțin elemente infinitezimale), care nu pot fi extinse la un câmp mai mare ordonat arhimedian.

Câmp ordonat non-Arhimedian

Ca exemplu (sau mai degrabă, contraexemplu) de câmp ordonat pentru care axioma lui Arhimede nu este valabilă, luați în considerare mulțimea funcțiilor raționale cu coeficienți reali, adică funcții de forma

R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots + b_{1}x+b_{0}}}.

În ceea ce privește operațiile uzuale de adunare și înmulțire, această mulțime formează un câmp . Introducem o relație de ordine pe mulțimea funcțiilor raționale după cum urmează. Fie și două funcții raționale. Spunem că dacă și numai dacă într-un cartier diferența are un semn strict pozitiv. Această condiţie poate fi formulată şi în termeni de coeficienţi ai funcţiilor raţionale şi . Scriem diferența ca polinom + fracție rațională proprie: $f$ $g$ $f>g$ $+\infty$ $fg$ $f$ $g$ $fg$

f(x)-g(x)=c_{nm}x^{nm}+\ldots +c_{1}x+c_{0}+{\frac {d_{k}x^{k} +\ldots +d_{1}x+d_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}} },

unde ultimul termen din partea dreaptă este o fracție rațională proprie, adică gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului: . De asemenea, vom presupune că coeficientul principal al numitorului este . Atunci dacă și numai dacă fie , fie partea polinomială este absentă și . Este ușor de verificat corectitudinea acestei definiții a ordinii (trebuie verificat atât că relația introdusă este într-adevăr o relație de ordine, cât și că această relație este în concordanță cu operațiile de teren). $k<m$ $b_{m}$ $unu$ $f>g$ $c_{nm} > 0$ $d_k > 0$

Astfel, mulțimea funcțiilor raționale formează un câmp ordonat. Rețineți că este o extensie a câmpului numerelor reale, dar axioma lui Arhimede nu este valabilă aici (vezi sfârșitul secțiunii precedente). Într-adevăr, luați în considerare elementele și . Evident, indiferent de numărul natural , inegalitatea are loc: $unu$ $X$ $n$

\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x.

Cu alte cuvinte, este un element infinit de mare al câmpului în ceea ce privește unitatea. Astfel, axioma lui Arhimede nu este valabilă în acest domeniu. $X$

Vezi și

Note

↑ Istoria matematicii / Ed. A.P. Iuşkevici. - M . : Nauka, 2003. - T. 1. - S. 96.
↑ Euclid. Începuturi / Traducere de D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Editura principală de literatură tehnică şi teoretică, 1948. - T. 1.
↑ Bourbaki, N. Eseuri de istorie a matematicii / Per. I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. - M . : Editura de literatură străină, 1963. - S. 148.
↑ Zorich, V. A. Analiza matematică, partea 1. - Moscova: FAZIS, 1997. - S. 50. - 554 p. — ISBN 5-7036-0031-6 .
↑ Hilbert, D. Fundamentele geometriei. - M. - L .: Editura principală de literatură tehnică şi teoretică, 1948. - P. 87.

Literatură

Istoria matematicii / Ed. A.P. Iuşkevici. - M . : „Nauka”, 2003. - T. 1.
Euclid. Începuturi / Traducere de D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Editura principală de literatură tehnică şi teoretică, 1948. - T. 1.
Hilbert, D. Fundamentele geometriei. - M. - L .: Editura principală de literatură tehnică şi teoretică, 1948.
Bourbaki, N. Eseuri de istorie a matematicii / Per. I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. - M . : Editura de literatură străină, 1963.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană