Problemă cu Burnside

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 27 februarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Problema Burnside  este o serie de probleme în teoria grupurilor în jurul întrebării posibilității de a determina caracterul finit al unui grup pe baza numai proprietăților elementelor sale: ar trebui să fie neapărat finit un grup finit generat în care fiecare element are o ordine finită.

Formulat de Burnside în 1902 . Este considerată una dintre problemele cheie ale teoriei grupurilor.

Când se adaugă anumite condiții, se obține problema Burnside restricționată, problema Burnside slăbită.

Istorie

Eforturile inițiale au fost îndreptate către o soluție pozitivă a problemei, deoarece toate cazurile speciale cunoscute au dat un răspuns pozitiv. De exemplu, dacă un grup este generat de elemente și ordinea fiecăruia dintre elementele sale este un divizor de 4, atunci este finit. Mai mult, în 1959 Kostrikin (în cazul unui exponent simplu ) [1] și în anii 1980 Zelmanov (în cazul unui exponent primar) au demonstrat că dintre grupurile finite cu un număr dat de generatori și exponenți, există cel mai mare . Clasificarea grupurilor finite simple și rezultatele lui Kostrikin-Zelmanov implică existența celui mai mare grup finit dintre toate grupurile finite cu un număr dat de generatori și un exponent dat.

Cu toate acestea, răspunsul general la problema Burnside s-a dovedit a fi negativ. În 1964, Golod și Shafarevich au construit un grup infinit de tip Burnside fără a presupune că fiecare element are o ordine mărginită uniform. În 1968, Novikov și Adyan au propus o soluție negativă a problemei cu un exponent mărginit pentru toți exponenții impari mai mari de 4381 [2] [3] [4] . În 1975, Adian a îmbunătățit metoda și a dat o soluție negativă problemei cu un exponent mărginit pentru toți exponenții impari mai mari de 665 [5] . În 1982, Olshansky a găsit mai multe contraexemple (în special monstrul Tarski ) pentru exponenți impari suficient de mari (mai mari decât ) și a oferit o dovadă bazată pe idei geometrice.

Cazul unui exponent par s-a dovedit a fi mai complicat. În 1992, Ivanov a anunțat o soluție negativă pentru exponenți chiar suficient de mari divizibili cu puteri mari de 2 (o dovadă detaliată a fost publicată în 1994 și a durat aproximativ 300 de pagini). Mai târziu, într-o lucrare comună, Olshansky și Ivanov au oferit o soluție negativă pentru un analog al problemei Burnside pentru cazul grupurilor hiperbolice, cu condiția ca exponentul să fie suficient de mare.

Starea problemei

Problema Burnside nelimitată . Într-un grup finit generat, toate elementele au o ordine finită. Deși, este posibil ca, în total, aceste comenzi să nu fie limitate. Rezultă de aici că grupul are un număr finit de elemente?

Problema Burnside restricționată . Într-un grup finit generat, ordinele tuturor elementelor nu depășesc un număr dat. Este adevărat că acesta este un grup de ordine finită?

Note

  1. ↑ Kostrikin, A. I. Proceedings of the Academy of Sciences of the URSS // Seria matematică. - 1959. - v. 23. - Nr. 1. - p. 3-34.
  2. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Despre grupuri periodice infinite. I  // Proceedings of the Academy of Sciences of URSS. Serii matematice. - 1968. - T. 32, numărul 1 . - S. 212-244 .
  3. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Despre grupuri periodice infinite. II  // Proceedings of the Academy of Sciences of URSS. Serii matematice. - 1968. - T. 32, numărul 2 . - S. 251-524 .
  4. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Despre grupuri periodice infinite. III  // Proceedings of the Academy of Sciences of URSS. Serii matematice. - 1968. - T. 32, numărul 3 . - S. 709-731 .
  5. ↑ Problema Adyan S.I. Burnside și identitățile în grupuri. - M . : Nauka, 1975. - S. 336.

Literatură

Link -uri