Rezoluție (algebră omologică)

Rezolvantul este unul dintre instrumentele importante ale algebrei omologice , în special, este folosit pentru a calcula functorii Ext și Tor .

Rezoluție proiectivă

Un complex ( X , ε ) peste un R -modul C este o secvență

$\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2} }{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0$ (*)

astfel încât produsul a două homomorfisme succesive este egal cu 0. Dacă toți X sunt liberi, complexul se numește liber, iar dacă toate sunt proiective , se numește proiectiv. Dacă secvența (*) este exactă , adică toată omologia H n ( X ) = ker d n /im d n +1 = 0 pentru n > 0 și H 0 ( X ) = ker d 0 /im d 1 = X 0 / im d 1 = X 0 /ker ε este izomorf cu C (presupunând d 0 : X 0 → 0 ), atunci acest complex se numește rezolutiv al lui R . Deoarece orice modul C este un modul de coeficient al unui modul liber, orice modul C poate fi inclus într-o rezoluție liberă (și, în plus, proiectivă).

Cel mai mic indice k astfel încât toți X n sunt zero pentru n > k se numește lungimea rezoluției. Dimensiunea proiectivă a unui modul este cea mai mică lungime a rezoluției sale proiective. De exemplu, un modul proiectiv este exact un modul cu dimensiunea proiectivă 0.

Functorii Ext n se găsesc conform următoarei teoreme: Dacă C și A sunt R - module și ε : X → C este orice rezoluție proiectivă a lui C , atunci Ext n ( C , A ) este izomorf cu grupul de coomologie H n ( X , A ) = H n (Hom R ( X , A )) . Functorii Tor n se găsesc conform următoarei teoreme: Dacă C și A sunt R -module și ε : X → C este orice rezoluție proiectivă a lui C , atunci Tor n ( C , A ) este izomorf cu grupul de omologie H n ( X ⊗ R A ) .

Rezoluție injectivă

Un complex ( Y , ε ) sub un R -modul A este o secvență:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}} {\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1 }{\longrightarrow}~\cdots$ (**)

astfel încât produsul a două homomorfisme succesive este 0. Dacă toți Y sunt injectivi , se spune că complexul este injectiv. Dacă secvența (**) este exactă, adică toată coomologia H n ( Y ) = ker δ n +1 /im δ n = 0 pentru n > 0 și H 0 ( Y ) = ker δ 1 /im δ 0 = ker δ 1 = im ε este izomorf cu A (presupunând δ 0 : 0 → Y 0 ), atunci acest complex se numește rezoluție centrală (de obicei, în acest caz, „ko” este omis și se vorbește despre o rezoluție injectivă) . Deoarece orice modul A este un submodul al unui injectiv și așa mai departe, orice modul A poate fi inclus într-o rezoluție injectivă.

Functorii Ext n se găsesc conform următoarei teoreme: Dacă C și A sunt R - module și ε : A → Y este orice rezoluție injectivă a lui A , atunci Ext n ( C , A ) este izomorf cu grupul de coomologie H n ( Hom R ( C , Y ) ) .

Literatură

Cartan A. , Eilenberg S. Algebră omologică. - M: IL, 1960
McLane S. Omologie. - M: Mir, 1966