Paradoxul Sankt Petersburgului

Paradoxul Sankt Petersburg (sau loteria Sankt Petersburg ) în economie este un paradox care ilustrează discrepanța dintre comportamentul optim teoretic al unui jucător și „bunul simț”.

Origini

Paradoxul a fost publicat pentru prima dată de Daniil Bernoulli în „Comentariile Academiei din Sankt Petersburg” [1] . Situația fusese descrisă anterior de nepotul lui Daniel, Nicholas I Bernoulli , în corespondența sa cu matematicianul francez Pierre Montmort .

Uneori, paternitatea paradoxului este atribuită lui Leonhard Euler [2] , iar numele este asociat cu faptul că Euler a trăit și a lucrat mult timp în Sankt Petersburg .

Declarația paradoxului

Se ia în considerare următoarea problemă. Intrând în joc, jucătorul plătește o anumită sumă și apoi aruncă o monedă (probabilitatea fiecărui rezultat este de 50%) până când iese cu capul. Când cadurile cad, jocul se termină, iar jucătorul primește o recompensă calculată conform următoarelor reguli. Dacă se aruncă capete la prima rolă, jucătorul primește ducați, la a doua rolă, ducați și așa mai departe (la -a rolă, ducați). Cu alte cuvinte, plata, dublarea de la o aruncare la alta, trece succesiv prin puterile a doi - 1, 2, 4, 8, 16, 32 și așa mai departe. $2^0$ $2^1$ $n$ $2^{{n-1}}$

Întrebare: Cu ce taxă de intrare jocul devine corect?

Nu este dificil să găsești așteptarea matematică a câștigului jucătorului, care este egal cu infinitul :

M={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1} {16}}\cdot 8+\cdots=

={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =

=\infty\,.

Paradoxul este că, deși valoarea calculată a acestei contribuții echitabile este egală cu infinitul, adică mai mare decât orice câștig posibil, jucătorii reali simt că chiar și 25 de ducați este un preț prea mare pentru a intra în joc.

Rezoluții paradoxului

Rezoluție prin constrângeri din lumea reală

Să dăm estimări pentru soluțiile paradoxului în ceea ce privește numărul de jocuri și limitele de timp.

Probabilitatea ca într-un anumit joc numărul de aruncări să depășească unele este egală cu . Lăsați jucătorul să poată juca la majoritatea jocurilor. Atunci probabilitatea ca numărul de aruncări în cel puțin un joc să depășească este egală cu . Pentru cele mari , este aproximativ egal cu . $n$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$ $k$ $n$ $1-\left(1-{\frac {1}{2^{n))}\right)^{k}$ $n$ ${\frac {k}{2^{n}}}$

Vom presupune că un eveniment cu o probabilitate mai mică decât unele nu are loc niciodată. Atunci numărul „real” de aruncări nu depășește . Cu această ipoteză, câștigul mediu per joc este aproximativ egal cu: $p$ $\log _{2}(k/p)$

$1\cdot {\frac {1}{2}}+2\cdot {\frac {1}{4}}+...+2^{n}\cdot {\frac {1}{2 ^{n+1}}}={\frac {n}{2}},$ Unde $n=\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

Adică câștigul mediu este ${\frac {1}{2}}\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

De exemplu, pentru 1000 de jocuri și p = 10 −6 obținem un profit mediu de aproximativ 15.

Permisiune prin funcție de utilitate

O altă opțiune de rezolvare este prin funcția de utilitate a banilor. Luând în considerare o funcție de utilitate marginală convexă (adesea una logaritmică ), ne asigurăm din nou că așteptarea sa matematică este finită .

Deci, dacă presupunem că este important ca jucătorul să crească nu cu o anumită sumă de bani , ci cu un anumit număr de ori , atunci el va evalua câștigul în funcție de funcția de utilitate logaritmică , maximizând paradoxul Petersburgului valoric, așteptarea matematică a utilității devine finită: $\ln {{\frac {X}{X_{0))))$ $X$ $X_{0}$

M\ln {\frac {X}{X_{0)}}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\ln {\frac {2^{i-1)} {X_{0}}}\right)2^{-i}=\ln 2-\ln X_{0}.

De aici este ușor să obțineți valoarea justă a jocului: . $X_{0}=2$

Această soluție poate fi îmbunătățită luând în considerare utilitatea câștigului având în vedere creșterea capitalului existent al jucătorului (o creștere de 1000 de ducați mărește funcția de utilitate a unui cerșetor mai mult decât cea a unui miliardar), dar răspunsul se schimbă doar puțin. $w$

În acest caz, este posibil să se schimbe sistemul de plată în așa fel încât această soluție să fie, de asemenea, inacceptabilă: pentru fiecare funcție de utilitate nelimitată , există o astfel de secvență de plăți pentru obținerea capetelor la pasul i-lea încât utilitatea așteptată va fi din nou egal cu infinitul. $n$

Probabilități ponderate

Nicholas Bernoulli însuși a propus o altă idee pentru rezolvarea paradoxului. El a observat că oamenii vor neglija evenimentele improbabile (de Montmort, 1713 [3] ). Deoarece în paradoxul de la Sankt Petersburg doar evenimentele cu probabilitate scăzută aduc profituri mari, care conduc la o valoare infinită a valorii așteptate a plății, acest lucru poate ajuta la rezolvarea paradoxului.

Ideea probabilităților ponderate a reapărut mult mai târziu în lucrarea despre teoria prospectului a lui Daniel Kahneman și Amos Tversky . Cu toate acestea, experimentele lor au arătat că oamenii, dimpotrivă, au tendința de a exagera ponderea evenimentelor individuale improbabile. Poate de aceea soluția propusă de Nicholas Bernoulli de unii[ de cine? ] nu este considerată în întregime satisfăcătoare.

Teoria perspectivei agregate (cumulative) este una dintre generalizările comune ale teoriei utilității așteptate , care poate oferi explicații pentru multe modele comportamentale (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). Cu toate acestea, exagerarea ponderii evenimentelor improbabile introduse în teoria perspectivei cumulative poate restabili paradoxul de la Sankt Petersburg. Teoria perspectivei cumulative rezolvă paradoxul numai pentru cazurile în care exponentul funcției de utilitate este mai mic decât exponentul funcției de probabilitate ponderată (Blavatsky, 2005 [5] ). Intuitiv, pentru a rezolva paradoxul, funcția de utilitate nu ar trebui să fie doar concavă, ci ar trebui să fie concavă în raport cu funcția de probabilitate ponderată.

Se poate obiecta că indicatorul funcției de utilitate în teoria prospectului se obține pe baza unor date de cel mult 400 USD (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). În timp ce paradoxul Sankt Petersburgului apare la estimarea sumelor care cresc la infinit. Adică, utilizarea formulelor Kahneman-Tversky, în acest caz, este incorectă.

Refuzul de a folosi așteptările matematice ca metodă de calcul

Diverși autori, inclusiv d'Alembert și John Maynard Keynes , au respins abordarea maximizării așteptărilor ca fiind metoda adecvată de calcul și chiar utilitatea așteptărilor în astfel de cazuri. În special, Keynes a insistat că riscul relativ al unui eveniment alternativ ar putea fi suficient de mare pentru a exclude toate opțiunile pentru apariția acestui eveniment alternativ, chiar și în cazul în care așteptarea matematică a unui eveniment pozitiv este foarte mare.

Cu alte cuvinte, dacă cazinoul oferă să joace acest joc pentru 25 de ducați, atunci marea majoritate a jucătorilor va refuza, considerând că este mai probabil să câștige sume mai mici de 25 de ducați în joc.

Răspuns folosind încercări

O abordare corectă din punct de vedere matematic folosind încercări a fost propusă de William Feller în 1937. Dacă nu folosiți o descriere strictă, atunci explicația intuitivă este următoarea. Metoda folosește tehnica „jucați acest joc cu un număr mare de oameni și apoi calculați așteptările matematice de a câștiga în încercări”. Conform acestei tehnici, dacă succesiunea așteptărilor de sume câștigătoare diverge, atunci aceasta necesită ipoteza unui timp infinit pentru joc, iar dacă numărul de jocuri jucate de o persoană este limitat la un anumit număr, atunci așteptarea matematică converge către unele valori mult mai mici decât acest număr.

Vezi și

Note

↑ Scurtă biografie a lui Bernoulli
↑ Noi fațete ale paradoxului Sankt Petersburg
↑ de Montmort, Pierre Remond Essay d'analyse sur les jeux de hazard (franceză) . - Al doilea. - Providence, Rhode Island: Societatea Americană de Matematică , 1713. - ISBN 978-0-8218-3781-8 . . Traducere în engleză: Pulskamp, Richard J Corespondența lui Nicolas Bernoulli cu privire la St. Jocul Petersburg ( PDF (88 KB) ). Preluat la 22 iulie 2010. Arhivat din original la 9 septembrie 2008. (nedefinit)
↑ 1 2 Tversky, A.; Kahneman, D. Progrese în teoria prospectului: reprezentarea cumulativă a incertitudinii // Journal of Risk and Uncertainty : jurnal. - 1992. - Vol. 5 , nr. 4 . - P. 297-323 . - doi : 10.1007/bf00122574 .
↑ Blavatskyy, P. Înapoi la St. Paradoxul Petersburg? // Știința managementului. - 2005. - T. 51 , nr 4 . - S. 677-678 . - doi : 10.1287/mnsc.1040.0352 .

Literatură

Kudryavtsev A. A. Paradoxul Sankt Petersburg și semnificația lui pentru teoria economică // Buletinul Universității din Sankt Petersburg . - 2013. - Emisiune. 3 . - S. 41-55 .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)

Paradoxuri economice
Alle Antitrust Paradoxul informațiilor cu săgeți Bertrand Braesa Ejectii competiție Demografice și economice Downes-Thomson Easterlin Edgeworth Ellsberg european Gibson Bunuri Giffen Icar Jevons Leontief Lucas Mandeville Mayfield Metzler blestemul resurselor Performanţă prosperitate Skitowski Serviciu St.Petersburg Cumpătare Angajare Tulloch Valori