Linia de mijloc

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 17 mai 2021; verificările necesită 8 modificări .

Linia mediană a figurilor în planimetrie este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale unei figuri date. Conceptul este folosit pentru următoarele figuri: triunghi, patrulater, trapez.

Linia mediană a triunghiului

Linia de mijloc a unui triunghi este un segment care leagă punctele medii ale laturilor acestui triunghi [1] .

Proprietăți

linia de mijloc taie un triunghi similar și omotetic cu cel original cu un factor de 1/2; aria sa este egală cu un sfert din aria triunghiului original.
trei linii de mijloc împart triunghiul original în patru triunghiuri egale. Centrala acestor triunghiuri se numește triunghi complementar sau medial .
Dacă două perechi de bisectoare (două interne și două externe) sunt trase din cele două vârfuri ale triunghiului și apoi al treilea vârf este proiectat ortogonal pe cele patru bisectoare obținute, atunci cele patru puncte de proiecție ale vârfului obținute pe bisectoare vor culcați pe o singură linie dreaptă (coliniară). [2] . Această linie este linia mediană a triunghiului, paralelă cu latura ale cărei capete sunt cele două vârfuri menționate mai sus. Mai precis, o parte a acestei linii de mijloc se dovedește a fi continuarea ei dincolo de triunghi.

Semne

Dacă un segment dintr-un triunghi trece prin mijlocul uneia dintre laturile sale, o intersectează pe a doua și este paralel cu a treia, atunci acest segment este linia mediană.

Linia mediană a patrulaterului

Linia mediană a unui patrulater este un segment de linie care leagă punctele medii ale laturilor opuse ale patrulaterului.

Proprietăți

Prima linie leagă 2 laturi opuse. Al doilea conectează alte 2 părți opuse.

Dacă într-un patrulater convex linia mediană formează unghiuri egale cu diagonalele patrulaterului, atunci diagonalele sunt egale.
Lungimea liniei mediane a unui patrulater este mai mică sau egală cu jumătate din suma celorlalte două laturi dacă aceste laturi sunt paralele și numai în acest caz.
Punctele de mijloc ale laturilor unui patrulater arbitrar sunt vârfurile paralelogramului . Aria sa este egală cu jumătate din aria patrulaterului, iar centrul său se află în punctul de intersecție al liniilor mediane. Acest paralelogram se numește paralelogramul Varignon ;
Ultimul punct înseamnă următoarele: Într-un patrulater convex, pot fi trase patru linii de mijloc de al doilea fel . Liniile mediane de al doilea fel sunt patru segmente în interiorul patrulaterului, care trec prin punctele medii ale laturilor sale adiacente paralele cu diagonalele. Cele patru linii de mijloc ale celui de-al doilea tip de patrulater convex îl taie în patru triunghiuri și un patrulater central. Acest patrulater central este paralelogramul Varignon .
Punctul de intersecție al liniilor mediane ale patrulaterului este punctul lor de mijloc comun și bisectează segmentul care leagă punctele de mijloc ale diagonalelor. În plus, este centroidul vârfurilor patrulaterului.
Într-un patrulater arbitrar , vectorul liniei mediane este egal cu jumătate din suma vectorilor de bază.

Linia mediană a trapezului

Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor acestui trapez. Segmentul care leagă punctele medii ale bazelor trapezului se numește a doua linie mediană a trapezului.

Se calculează prin formula: unde AD și BC sunt bazele trapezului. $EF=\frac{AD+BC}{2}$

Proprietăți

linia mediană paralelă cu bazele
linia mediană este jumătate din suma bazelor
linia din mijloc împarte figura în două trapeze, ale căror zone sunt legate ca [1] Arhivat 12 august 2017 la Wayback Machine

{\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3\,BC+AD}{BC+3\,AD}}

Vezi și

teorema lui Varignon (geometrie)

Note

↑ Manual. Triunghiuri (link nu este disponibil) . Consultat la 14 aprilie 2008. Arhivat din original pe 20 aprilie 2016. (nedefinit)
↑ Dmitri Efremov . New Triangle Geometry Arhivat 25 februarie 2020 la Wayback Machine . - Odesa, 1902. - S. 6. Capitolul I, p. 8

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex