Produsul tensor al algebrei

Produsul tensor al algebrelor este o construcție care dă o nouă algebră dată de două algebre peste un inel comutativ . Cel mai frecvent caz este atunci când inelul este un câmp .

Definiție

Fie R un inel comutativ și A și B să fie R -algebre. Deoarece A și B pot fi văzute ca module R , produsul lor tensor

A\otimes _{R}B

este, de asemenea, un modul R - . Un produs tensor i se poate da structura unui inel definind un produs pe elemente prime de forma a ⊗ b după cum urmează [1] [2]

{\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2))

iar apoi extinzând această operaţie liniar la întregul A ⊗ R B . Inelul rezultat este o R -algebră asociativă cu elementul de identitate dat de 1 A ⊗ 1 B [3] , unde 1 A și 1 B sunt elementele de identitate ale lui A și B . Dacă A și B sunt comutative, atunci produsul tensor este și comutativ.

Produsul tensor transformă categoria algebrelor R într-o categorie monoidală simetrică .

Proprietăți

Există homomorfisme naturale de la A și B la A ⊗ R B definite astfel [4] :

a\mapsto a\otimes 1_ {B)

b\mapsto 1_{A}\otimes b

Aceste hărți fac din produsul tensor un coprodus din categoria R -algebrelor comutative.

Mai mult, produsul tensor nu este un coprodus din categoria tuturor R -algebrelor. Aici coprodusul este dat de produsul liber mai general al algebrelor. Cu toate acestea, produsul tensor al algebrelor necomutative poate fi descris printr -o proprietate universală similară proprietății coprodusului:

{\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}} (B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,

unde [-, -] denotă comutatorul . Un izomorfism natural este dat prin identificarea unui morfism pe partea stângă cu o pereche de morfisme pe partea dreaptă, unde și în mod similar . $\phi:A\otimes B\to X$ $(f,g)$ $f(a):=\phi (a\otimes 1)$ $g(b):=\phi (1\otimes b)$

Note

↑ Kassel (1995), [ [1] în „ Google Books ” p. 32].
↑ Lang, 2002 , pp. 629-630.
↑ Kassel (1995), [ [2] în „ Google Books ” p. 32].
↑ Kassel (1995), [ [3] în „ Google Books ” p. 32].

Literatură

Lang, Serge. Algebră. - Springer, 2002. - Vol. 21. - ISBN 0-387-95385-X .