Teorema lui Pompei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Pompei este o teoremă de planimetrie descoperită de matematicianul român Dimitrie Pompei și publicată de acesta în 1936 [1] . Teorema este cunoscută în două formulări: particulară și mai generală.

Formulări

Formulare privată

Să fie dat un triunghi echilateral înscris într- un cerc . Atunci, pentru orice punct al acestui cerc, distanța de la acesta până la unul dintre vârfurile triunghiului este egală cu suma distanțelor până la celelalte două vârfuri. În special, pentru fig. in dreapta avem: . Într-o formă simetrică, această formulare poate fi scrisă ca: sau . $AM+CM=BM$ $MA+MB+MC=2\max(MA,MB,MC)$ $x+y+z = 2\max(x,y,z)$

Exemple de rapoarte similare

Relații similare se găsesc în următoarele secțiuni:

Formulare generală

Să fie dat un triunghi echilateral înscris într-un cerc. Atunci următoarele inegalități sunt valabile pentru orice punct: $ABC$ $M$

MA\leqslant MB+MC,

MB\leqslant MA+MC,

MC\leqslant MA+MB.

Mai mult, aceste inegalități se transformă în egalități dacă și numai dacă punctul se află pe arce și , respectiv, pe cercul circumscris. $M$ $î.Hr$ $AC$ $AB$

Cu alte cuvinte, din segmentele , , puteți face un triunghi , dar dacă punctul se află pe cercul circumscris, acesta va fi degenerat. $MA$ $MB$ $MC$ $M$

Dovezi

Luați în considerare o rotație în jurul unui punct de pe . Cu această rotație, punctul va merge la , și - la . $A$ $60^{\circ }$ $B$ $C$ $M$ $M'$

Rețineți că triunghiul este echilateral, deci . Deoarece rotația este o izometrie , atunci . $AMM'$ $AM=LL'$ $MB=M'C$

Astfel, lungimile segmentelor , , sunt egale cu distanțele perechi dintre punctele , , , adică toate cele trei inegalități vor urma din inegalitatea triunghiulară generalizată . Una dintre inegalități devine o egalitate dacă și numai dacă punctele , și se află pe aceeași linie dreaptă. $MA$ $MB$ $MC$ $M$ $M'$ $C$ $M$ $M'$ $C$

Rețineți că datorită proprietăților de rotație . Acum, în cazul în care se află între și avem și , adică se află pe arcul . În mod similar, în celelalte două cazuri, unul dintre unghiurile indicate va fi , iar celălalt , și vom obține alte două arce. $\angle AM'C=\angle AMB$ $C$ $M$ $M'$ $\angle AM'C=\angle AMB=60^{\circ }$ $\angle AMC=60^{\circ }$ $M$ $î.Hr$ $60^{\circ }$ $120^{\circ }$

Alte dovezi

De asemenea, teorema lui Pompei rezultă direct din inegalitatea lui Ptolemeu aplicată la , , și , adică pentru un patrulater înscris într-un cerc . $A$ $B$ $C$ $M$ $ABCM$
Teorema poate fi demonstrată folosind inversarea [2] [3] sau numere complexe [2] [4] - propria demonstrație a lui Pompei a folosit și numere complexe [1] .

Variații și generalizări

Zona Triunghiului lui Pompei

După cum spune teorema, pentru orice punct din segmentele , , este posibil să se construiască un triunghi (triunghiul lui Pompei corespunzător punctului ). Dacă se află în interiorul unui triunghi cu suprafața , iar ariile triunghiurilor , și sunt egale cu , , , atunci aria triunghiului lui Pompei este [2] . $M$ $MA$ $MB$ $MC$ $M$ $M$ $ABC$ $S_{0}$ $AMB$ $BMC$ $AMC$ $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{3}$ ${\frac {S_{1}S_{2}+S_{2}S_{3}+S_{3}S_{1}}{S_{0}}}$

Teorema lui Pompei generalizată

Fie ca cercul să atingă cercul circumscris unui triunghi echilateral într-un punct arbitrar . Să desenăm tangente , , la acest cerc de la vârfurile triunghiului. Apoi . $ABC$ $M$ $AA_{1}$ $BB_{1}$ $CC_{1}$ $AA_{1}+CC_{1}=BB_{1}$

Demonstrarea se bazează pe aplicarea teoremei lui Pompei și a teoremei tangentei și secantei . Este clar că dacă facem raza cercului zero, obținem teorema clasică a lui Pompei. Această generalizare a teoremei lui Pompei este o consecință simplă a teoremei lui Casey ( teorema generalizată a lui Ptolemeu ), când razele a trei dintre cele patru cercuri tangente ale unui patrulater înscris degenerează în puncte, iar al patrulea cerc apare în această generalizare a teoremei lui Pompei . În acest caz, patrulaterul înscris degenerează într-un triunghi echilateral cu un vârf în plus. Se poate lua un alt caz de patrulater înscris, când are două laturi și o diagonală egale, formând un triunghi echilateral ABC și cele trei vârfuri ale sale, al patrulea vârf M se află pe cerc (vezi ultima figură).

Note

↑ 1 2 D. Pompeiu. Une identité entre nombres complexes et un théorème de géométrie élémentaire (franceză) // Bull. matematica. fiz. Ecole Polytechn. :revistă. - București, 1936. - Vol. 6 . - P. 6-7 .
↑ 1 2 3 A. Benyi, I. Casu, Teorema lui Pompeiu revăzută Arhivat 31 martie 2011 la Wayback Machine
↑ O dovadă a teoremei lui Ptolemeu folosind inversarea Arhivat 26 mai 2009 la Wayback Machine . Punct de consultare la distanță pentru matematică MCNMO .
↑ Ponarin, 2004.

Surse

V. Yu. Protasov. Maxime și minime în geometrie . — M .: MTsNMO , 2005.
Da. P. Ponarin. Algebra numerelor complexe în probleme geometrice . — M .: MTsNMO , 2004.