Teorema lui Stolz

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 august 2021; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Stolz este o afirmație de analiză matematică , în unele cazuri ajutând la găsirea limitei unei secvențe de numere reale . Teorema este numită după matematicianul austriac Otto Stolz , care a publicat demonstrația sa în 1885 [1] . Prin natura sa, teorema lui Stolz este un analog discret al regulii lui L'Hôpital .

Formulare

Fie și două șiruri de numere reale, în plus, pozitive, nemărginite și strict crescătoare (cel puțin pornind de la un termen). Atunci dacă există o limită $un$ $b_n$ $b_n$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}

atunci există o limită

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

iar aceste limite sunt egale.

Dovada

Mai jos este o dovadă conform lui Fikhtengolts [2] , o altă dovadă este dată în cartea lui Arkhipov, Sadovnichy și Chubarikov [3] .

Să presupunem mai întâi că limita este egală cu un număr finit , apoi pentru orice dat există un astfel de număr care va avea loc: $L$ $\varepsilon >0$ $N>0$ $n>N$

L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}<L+ {\frac {\varepsilon }{2))

Deci, pentru oricare, toate fracțiile sunt: $n>N$

{\frac {a_{{N+1}}-a_{N}}{b_{{N+1}}-b_{N}}},{\frac {a_{{N+2}}-a_{ {N+1}}}{b_{{N+2}}-b_{{N+1}}}},...,{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}} {b_{n}-b_{{n-1}}}}

se află între aceste limite. Deoarece numitorii acestor fracții sunt pozitivi (datorită secvenței strict crescătoare ), atunci, prin proprietatea mediantei , o fracție este de asemenea conținută între aceleași granițe: $b_n$

{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}

al cărui numărător este suma numărătorilor fracțiilor scrise mai sus, iar numitorul este suma tuturor numitorilor. Deci, la : $n>N$

\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}

Acum luați în considerare următoarea identitate (verificabilă direct):

{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac { b_{N}}{b_{n}}}\dreapta)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\dreapta)

de unde avem

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}} \right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|

Al doilea termen la devine mai mic decât , primul termen devine și mai mic decât , la , unde este un număr suficient de mare, datorită faptului că . Dacă luăm , atunci căci vom avea $n>N$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ ${\frac {\varepsilon }{2))$ $n>M$ $M$ $b_{n}\la +\infty$ $M>N$ $n>M$

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon

ceea ce dovedeşte afirmaţia noastră.

Cazul unei limite infinite poate fi redus la una finită. Să, pentru certitudine:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}=+ \infty

rezultă că pentru suficient de mare : $n$

a_{n}-a_{{n-1}}>b_{n}-b_{{n-1}}

și

\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=+\infty

iar succesiunea este strict crescătoare (începând de la un anumit număr). În acest caz, partea dovedită a teoremei poate fi aplicată relației inverse : $un$ ${b_{n} \over a_{n}}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_ {n}-b_{{n-1}}}{a_{n}-a_{{n-1}}}}=0

de unde rezulta ca:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty

Dacă limita este , atunci trebuie să luați în considerare succesiunea . $-\infty$ $\{-un}\}$

Consecință

O consecință a teoremei lui Stolz este regularitatea metodei de însumare Ces'aro . Aceasta înseamnă că dacă șirul converge către numărul , atunci șirul de medii aritmetice converge către același număr. $un$ $A$ ${\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}$

Note

↑ Otto Stolz. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (germană) . - Leipzig: Teubners, 1885. - S. 173-175.
↑ Fikhtengolts, 2003 .
↑ Arkhipov, Sadovnici, Chubarikov, 1999 .

Literatură

Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 1. - S. 78-79.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Prelegeri de analiză matematică / Ed. V. A. Sadovnichy. - M . : Şcoala superioară , 1999. - S. 43-44. - ISBN 5-06-003596-4 .