↔ ⇔ ≡
„ Atunci și numai atunci ” este o legătură logică de echivalență între enunțurile folosite în logică , matematică , filozofie . Pentru a fi echivalent, un conectiv trebuie să fie identic cu un condițional material standard [1] ("doar atunci" echivalează cu "dacă ... atunci"), legat de opusul său, de unde și numele link-ului. Ca urmare, adevărul unei afirmații necesită același adevăr al celeilalte, adică fie ambele sunt adevărate, fie ambele sunt false. Se poate argumenta dacă expresia limbii ruse „dacă și numai atunci” transmite legătura definită mai sus cu semnificația sa deja existentă. Desigur, nimic nu ne poate împiedica să citim acest pachet exact ca „dacă și numai atunci”, deși acest lucru poate duce uneori la confuzie.
În scris, expresii destul de controversate sunt adesea folosite ca alternativă la „atunci și numai atunci”, inclusiv: Q este necesar și suficient pentru P ; P este echivalent (sau echivalent material) cu Q ; R exact dacă Q ; P exact când Q ; P exact în cazul lui Q ; P exact în cazul lui Q .
În formulele logice, în loc de toate frazele de mai sus, sunt folosite simboluri logice.
Tabelul de adevăr pentru p ↔ q este următorul: [2]
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| unu | unu | unu |
| unu | 0 | 0 |
| 0 | unu | 0 |
| 0 | 0 | unu |
Rețineți că transformarea echivalentă este efectuată de celula XNOR standard , iar transformarea opusă este efectuată de celula XOR standard.
Simbolurile logice ↔, ⇔ și ≡ sunt folosite pentru a desemna conjunctivul logic „dacă și numai atunci” în formule. În textele în limba engleză , uneori, „iff” (o abreviere pentru „dacă și numai dacă”) este folosit pentru a desemna o legătură, iar în textele rusești , prin analogie, abrevierea „ttt” [3] sau „sogda” [4] este folosit ocazional . De obicei, toate aceste simboluri sunt tratate ca echivalente. Totuși, unele texte de logică matematică (în special despre logica de ordinul întâi și într-o măsură mai mică despre logica propozițională ) fac o distincție între ele, primul semn ↔ fiind folosit ca simbol în formulele logice, în timp ce semnul ⇔ este folosit în raționamentul despre aceste formule (de exemplu, în metalogică ). Notația Łukasiewicz folosește caracterul „E” ca prefix. Negația acestui conjunctiv este „exclusiv sau”.
În majoritatea sistemelor logice , afirmațiile de forma „P ↔ Q” sunt dovedite prin demonstrația „dacă P, atunci Q” și „dacă Q, atunci P” (sau inversul „ dacă nu-P, atunci nu-Q” și „dacă nu-Q, atunci non-P”). Dovada acestei perechi de afirmații duce uneori la o demonstrație mai riguroasă, deoarece există condiții neevidente din care echivalența poate fi derivată direct. O alternativă este de a demonstra disjuncția „(P și Q) sau (nu-P și nu-Q)”, care ea însăși poate fi dedusă din disjuncte, adică deoarece conjunctivul ↔ este o funcție de adevăr, rezultă că „P ↔ Q" este adevărată numai dacă P și Q sunt ambele adevărate sau ambele false.
Suficiența este inversul necesității. Adică, dacă este dat P → Q (sau dacă P , atunci Q ), atunci P va fi o condiție suficientă pentru Q și Q va fi o condiție necesară pentru P. În plus, dacă P → Q este dat , atunci ¬Q → ¬P este și adevărat (unde ¬ este operatorul de negație, adică „nu”). Aceasta înseamnă că relația dintre P și Q stabilită de operatorul P → Q poate fi exprimată în următoarele moduri echivalente:
P este suficient pentru Q (dacă P este adevărat, atunci Q este sigur) Q este necesar pentru P (dacă Q este adevărat, atunci P este probabilist) ¬Q este suficient pentru ¬P (dacă ¬Q este adevărat, atunci ¬P este sigur) ¬P este necesar pentru ¬Q (dacă ¬P este adevărat, atunci ¬Q este probabilistic)Luând ca exemplu propoziția de mai sus (1), care afirmă P → Q , unde P este „budinca cu cremă în cauză” și Q este „Madison va mânca budinca în cauză” . Următoarele patru moduri de exprimare a relațiilor sunt echivalente:
Dacă budinca în cauză este cremă, atunci Madison o va mânca. Numai dacă Madison mănâncă budinca în cauză, probabil că este cremă. Dacă Madison nu mănâncă budinca în cauză, este fără cremă. Numai dacă budinca în cauză nu este fără cremă, Madison s-ar putea să nu o mănânce.Astfel, vedem că propoziția de mai sus (2) poate fi reformulată ca și cum... atunci , de exemplu, „Dacă Madison mănâncă budinca în cauză, atunci este cu cremă”. Luând acest lucru împreună cu (1), aflăm că (3) poate fi afirmat după cum urmează: „Dacă budinca în cauză este cremă, atunci Madison o va mânca, iar dacă Madison mănâncă budinca, atunci este cremă.”