Identitatea a patru pătrate

Identitatea de patru pătrate a lui Euler este o descompunere a produsului sumelor a patru pătrate într-o sumă a patru pătrate.

Formulare

{\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{ 1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\\&=(a_{1}b_{1}-a_ {2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+ a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\\&+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{ 3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_ {4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}

Această identitate este valabilă pentru elementele oricărui inel comutativ . Totuși, dacă și sunt numere reale , atunci identitatea poate fi reformulată în termeni de cuaternioni , și anume: modulul produsului a doi cuaternioni este egal cu produsul modulelor factorilor: $a_{i}$ $b_{i}$

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|

Identități similare

„identitatea unui pătrat”

a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}

înseamnă că modulul produsului a două numere reale este egal cu produsul modulelor factorilor:

|ab|=|a||b|

„identitatea a două pătrate” (așa-numita identitate a lui Brahmagupta )

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}

înseamnă că modulul produsului a două numere complexe este egal cu produsul modulelor factorilor:

|ab|=|a||b|

„ identitatea celor opt pătrate ” înseamnă că modulul produsului a doi octooni este egal cu produsul modulilor factorilor: $|ab|=|a||b|$ .

În toate aceste cazuri, funcțiile rezultate (a căror sumă de pătrate și este egală cu produsul pătratelor sumelor originale) sunt funcții biliniare ale variabilelor originale.

Cu toate acestea, nu există o „identitate de șaisprezece pătrate” similară. Dar există o formă similară (pentru 2 N pătrate, unde N este orice număr natural) în esență diferită, deja doar pentru funcțiile raționale ale variabilelor originale - conform teoremei lui A. Pfister. [unu]

Istorie

Identitatea a fost introdusă de Euler în 1750 - cu aproape 100 de ani înainte de apariția cuaternionilor .

Această identitate a fost folosită de Lagrange în demonstrarea teoremei sale a celor patru pătrați .

Vezi și

Lista obiectelor numite după Leonhard Euler

Note

↑ Vezi, de exemplu: V.V.Prassolov. Polinoame Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine Ch.7 (p.23.2)