Punctul Miquel

Punctul lui Miquel este unul dintre punctele remarcabile ale patrulaterului .

Definiție

Fie aranjate patru linii în așa fel ( în poziție generală ) încât atunci când se intersectează, să se formeze patru triunghiuri. Atunci cercurile circumscrise în jurul acestor triunghiuri au un punct comun, care se numește punctul Miquel al acestei configurații de drepte.

Notă

Afirmația că aceste patru cercuri se intersectează într-un punct se numește teorema patrulaterului Michel-Steiner [1] .

Proprietăți

Centrele cercurilor circumscrise celor patru triunghiuri de mai sus (puncte albastre în figură) se află pe același cerc (roșu) care trece prin punctul Miquel (verde în figura de mai sus).
Un patrulater format din patru drepte date , , și , este înscris dacă și numai dacă punctul Miquel se află pe dreapta care leagă două dintre cele șase puncte de intersecție ale dreptelor (cele care nu sunt vârfuri ale patrulaterului), adică atunci când se întinde pe . $ABCD$ $FI$ $BF$ $CE$ $AF$ $M$ $EF$

Istorie

Acest rezultat a fost anunțat de Jakob Steiner [2] . O dovadă completă a dat-o Miquel [1] .

Variații și generalizări

Teorema lui Miquel pentru un pentagon (pentru o stea cu cinci colțuri)

Să fie dat un pentagon convex . Să continuăm toate cele cinci laturi ale sale până când se intersectează în cinci puncte , , , , (formând o stea cu cinci colțuri). Descriem cinci cercuri în jurul a cinci triunghiuri , , și . Apoi celelalte puncte ale lor de intersecție reciprocă (cu excepția , , , , ), și anume punctele noi: , , , și se află pe același cerc (aparțin aceluiași cerc) [3] (vezi Fig.). Reversul este cunoscut sub numele de teorema celor cinci cercuri . $ABCDE$ $F$ $G$ $H$ $eu$ $K$ $CFD-uri$ $DGE$ $EHA$ $AIB$ $BKC$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $M$ $N$ $P$ $R$ $Q$

Teorema în șase cercuri a lui Miquel

Fie date patru puncte , , și , pe un cerc și patru cercuri se intersectează în perechi în aceste puncte, precum și în alte patru puncte , , și . Apoi ultimele patru puncte se află și ele pe un cerc comun. Această teoremă este cunoscută ca „teorema șase cercuri” [4] (vezi figura). $A$ $B$ $C$ $D$ $W$ $X$ $Y$ $Z$

Această teoremă este uneori numită teorema celor patru cercuri și este atribuită lui Jakob Steiner, deși singura dovadă publicată cunoscută a fost dată de Miquel [5] .

Wells se referă la această teoremă ca „teorema lui Miquel” [6] .

Un analog tridimensional al teoremei lui Miquel

Există, de asemenea, un analog tridimensional în care patru sfere care trec prin punctele tetraedrului și punctele de pe marginile tetraedrului se intersectează într-un punct comun . Wells, când se referă la Miquel, se referă la această teoremă ca teorema lui Pivot . [7] $M$

Vezi și

Punctul Poncelet
Teorema lui Miquel - un alt rezultat al lui Miquel
Direct Ober

Note

↑ 1 2 Ostermann & Wanner (2012) , p. 96.
↑ Steiner, J. (1827/1828), Întrebări propuse. Théorème sur le quadrilatère complet, Annales de math. T. 18: 302–304
↑ Un profesor de liceu în mediul rural francez (Nantua) conform Ostermann & Wanner 2012 . - Ostermann & Wanner, 2012. - P. 94-97.
↑ Un profesor de liceu în mediul rural francez (Nantua) conform Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 94.
↑ Un profesor de liceu în mediul rural francez (Nantua) conform Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 352.
↑ Wells, David. Dicționarul pinguinului de geometrie curioasă și interesantă . - New York: Penguin Books, 1991. - P. 151-152 .
↑ Wells, David. Dicționarul pinguinului de geometrie curioasă și interesantă . - New York: Penguin Books, 1991. - P. 184 .

Literatură

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. L. Noi întâlniri cu geometria . — M .: Nauka, 1978. — 224 p. - (Numărul 14 din seria „ Biblioteca Cercului Matematic ”). - 148.000 de exemplare.

Forder, H.G. (1960), Geometrie , Londra: Hutchinson

Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometria după istoria sa , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3

Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0

Smart, James R. (1997), Modern Geometries (ed. a 5-a), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6