A treia formă pătratică

A treia formă pătratică este o modalitate de a descrie curburele suprafeței . De obicei notat . $\mathbf {I\!I\!I}$

Definiție

Să notăm operatorul formei unei suprafețe netede . Mai mult, fie și elemente ale spațiului tangent în punctul . A treia formă fundamentală este definită ca următorul produs punctual $S$ $\Sigma$ $u$ $v$ $T_{p}$ $p\in \Sigma$

\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle S(u),S(v)\rangle .

Proprietăți

A treia formă pătratică nu depinde de semnul normalei de suprafață . (Acesta este diferit de a doua formă pătratică , care își schimbă semnul atunci când semnul normalului se schimbă)

A treia formă pătratică este exprimată în termenii primei și a doua forme pătratice . $\mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,$

unde este curbura medie a suprafeței și este curbura gaussiană a suprafeței.

H

K

Deoarece operatorul de formă este autoadjunct, pentru că avem $u,v\in T_{p}(M)$ $\mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u, v\rangle$ .

A treia formă pătratică

Definiție

Proprietăți

Vezi și