Ecuația Gassmann

Ecuațiile Gassmann sunt ecuații care relaționează parametrii elastici ai unui mediu poros saturat cu un lichid sau gaz. Ele sunt folosite pentru a evalua proprietățile elastice ale rocilor (viteza de propagare a undelor elastice) în studiile geofizice ale scoarței terestre. Obținut prin aproximarea teoriei liniare a elasticității, în care un material izotrop omogen este caracterizat de trei parametri independenți (sau cantități derivate din aceștia), de exemplu: modulul de compresie în vrac , modulul de forfecare și densitatea . $K$ $G$ $\rho$

Caracteristicile elastice ale unui mediu poros

Modelul mediu poros utilizat în ecuațiile Gassmann presupune că materialul constă din faze solide și lichide (gazoase). Faza solidă formează un cadru rigid (schelet) caracterizat prin modulele sale macroscopice de elasticitate. Faza lichidă (gazoasă) umple complet spațiul gol. În raport cu fizica rocilor sedimentare , faza solidă este reprezentată de cristale sau granule de minerale formatoare de rocă, iar faza lichidă este reprezentată de fluide conținute în spațiul poros al rocii. Se presupune că spațiul gol este distribuit uniform într-un astfel de mediu și proprietățile sale sunt independente de direcție ( izotrope ). Principala caracteristică a spațiului gol este porozitatea - raportul dintre volumul golurilor și volumul întregii probe: . $\phi ={\frac {V_{por}}{V}}$

Similar cu metoda mediilor „eficiente” , la derivarea ecuațiilor Gassmann, este selectat un astfel de material izotrop omogen încât, sub o sarcină aplicată, „în medie” se comportă în același mod ca mediul poros microneomogen studiat. Astfel, sistemul bifazat considerat în modelul Gassmann este caracterizat de următorii parametri:

module elastice efective ale materialului saturat: ; $K,G,\rho$
porozitate: ; $\phi$
module elastice ale fazei solide (substanţa minerală) care alcătuiesc scheletul: ; $K_{m}, G_{m},\rho _{m)$
module elastice fluide: ; $K_{f},\rho _{f}$
module elastice efective ale cadrului de rocă (nesaturate): ; $K_{uscat}, G_{uscat)$

Acestea din urmă depind atât de proprietățile substanței minerale, cât și de mulți alți factori (geometria spațiului porilor, natura contactelor cerealelor, presiunea efectivă etc.) și, de regulă, nu pot fi calculate în mod explicit. Sistemul de ecuații Gassmann conectează caracteristicile enumerate între ele, ceea ce face posibilă exprimarea unor parametri în termenii altora atunci când se rezolvă diverse probleme aplicate (de exemplu , problema înlocuirii fluidelor ). Una dintre ipotezele utilizate în acest model este ipoteza că modulul de forfecare al unui mediu bifazic este independent de proprietățile fluidului de umplere a porilor. Prin urmare (totuși ). Densitatea mediului este o medie ponderată între densitatea fazei solide și densitatea fluidului. Astfel, semnificația principală a ecuațiilor Gassmann constă în expresia pentru modulul de compresie generală a mediilor saturate poroase. În forma sa cea mai generală, această expresie are următoarea formă: $G$ $G=G_{uscat)$ $G_{uscat}\neq G_{m)$

$F(K,K_{m},K_{uscat},K_{f},\phi )=0;$

Oricare dintre cei cinci parametri incluși în această ecuație ca argument poate fi exprimat în termenii celorlalți patru.

Notație de bază

Pentru a calcula modulele elastice efective ale unui material saturat, se utilizează forma explicită a ecuațiilor Gassmann:

K=K_{uscat}+{\frac {\left(1-{\frac {K_{uscat)}{K_{m)}}\right)^{2)} {{\frac {\phi }{K_{f))}+{\frac {1-\phi }{K_{m))}-{\frac {K_{uscat)){K_{m}^{2))))};

G=G_{uscat};

\rho =\rho _{m}(1-\phi )+\rho _{f}\phi ;

Aceste expresii fac posibilă estimarea gradului de influență a parametrilor elastici ai fluidului de umplere asupra proprietăților rocii. Pe baza acestora, pot fi calculate și alte caracteristici elastice ale unui mediu saturat poros. De exemplu:

viteza undei longitudinale :

V_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}};

viteza undei de forfecare :

V_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {G_{uscat}}{\rho }}};

Trebuie remarcat faptul că, în ciuda faptului că proprietățile fluidului nu afectează modulul de forfecare al rocii, viteza undei de forfecare se modifică odată cu modificarea tipului de fluid datorită influenței densității.

Modulele elastice ale scheletului „uscat”

Pentru a calcula caracteristicile elastice ale unui material poros saturat folosind forma explicită a ecuației Gassmann, este necesar să se stabilească parametrii și . Pentru aceasta se folosesc de obicei relații empirice. Modelul generalizat al porozității critice a Nur (A.Nur), care este în bună concordanță cu experimentele și confirmat de rezultatele simulării numerice [1] , și-a găsit o aplicație largă : $K_{uscat)$ $G_{uscat)$

K_{uscat}=K_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{a},\\\phi <\phi _{ cr}

G_{uscat}=G_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{b},\\\phi <\phi _{ cr}

Aici , este porozitatea critică și și sunt coeficienții de control calibrați în raport cu rezultatele măsurătorii. $\phi _{cr)$ $A$ $b$

Semnificația fizică a porozității critice este volumul relativ al golurilor peste care materialul își pierde rigiditatea (de exemplu, punctul de tranziție de la gresie la nisip sau de la rocă saturată la suspensie). Pentru o valoare a porozității peste valoarea critică, . În acest caz, ecuația Gassmann se transformă în ecuația Wood . $K_{uscat}=G_{uscat}=0$

Valorile parametrilor depind de geometria spațiului gol, natura contactului și forma boabelor și alte caracteristici ale scheletului de rocă. $A$ $b$

Compoziția multicomponentă a fazei solide și fluidului

De regulă, compoziția fazei solide a rocilor reale include mai multe minerale care formează roci. În acest caz , se folosesc diverse tehnici de mediere pentru evaluarea modulelor elastice ale substanţei minerale . De regulă, metoda câmpului auto-consistent dă rezultate bune . Se poate folosi și metoda de mediere Hill . $K_{m}$ $G_{m}$

Ecuația lui Wood poate fi utilizată pentru a estima modulul de compresie generală a unui fluid cu compoziția sa multicomponentă . Cu toate acestea, trebuie reținut că această ecuație este aplicabilă numai componentelor nemiscibile. De exemplu, pentru a evalua proprietățile petrolului de rezervor care conține o anumită cantitate de gaz natural în stare dizolvată, poate da erori mari.

Presupuneri de baza. Domeniul de aplicare

Ecuațiile Gassmann pot fi utilizate atât pentru determinarea modulelor elastice statice, cât și în cazul dinamic (de exemplu, pentru estimarea vitezelor de propagare a undelor seismice în roci). Cu toate acestea, la derivarea ecuațiilor, sunt utilizate următoarele ipoteze, care limitează domeniul de aplicare al acestei teorii:

Scheletul mineral și fluidul se mișcă împreună (fără alunecare). Modificarea volumului elementar al rocii este suma variației volumului fluidului și volumului fazei solide;
Proprietățile fluidului nu afectează modulul de forfecare al rocii;
Tensiunea din rocă este suma tensiunii din schelet și a presiunii din fluid (presiunea porilor);

Prima ipoteză impune restricții asupra gamei de frecvență a semnalelor atunci când se utilizează teoria Gassmann în probleme dinamice. La o lungime de undă suficient de scurtă, faza lichidă va „aluneca” în raport cu scheletul rocii. Ca rezultat, se va observa dispersia în frecvență a vitezei undei și disiparea energiei. Aceste efecte sunt considerate în cadrul teoriei mai generale Biot-Nikolaevskii , din care ecuațiile lui Gassmann pot fi derivate ca un caz special.

Intervalul de frecvență în care teoria Gassmann descrie bine datele experimentale este de obicei estimat la 10% din frecvența de rezonanță Biot :

f_{max}=0,1f_{Bio}=0,1{\frac {\eta \phi }{2\pi \kappa \rho _{f}}};

$\eta$ este vâscozitatea dinamică a fluidului,

$\kappa$ - coeficientul de permeabilitate al materialului ( permeabilitatea absolută a rocii ).

Cu oscilații de frecvență mai mare într-un mediu saturat poros și permeabil, pe lângă undele longitudinale și transversale, apare o undă longitudinală de al doilea fel .

Pentru majoritatea rocilor reale, frecvența de rezonanță Biot este semnificativ mai mare de 20-30 kHz. Acest lucru face posibilă utilizarea ecuațiilor Gassmann în procesul de interpretare a datelor seismice și sonice .

Tabelul de mai jos prezintă un exemplu de estimare a frecvenței limită de aplicabilitate a ecuațiilor Gassmann pentru unele valori tipice ale porozității și permeabilității rocilor reale saturate cu apă.

Exemplu de estimare a frecvenței de tăiere (kHz): $f_{{max}}$
	porozitate
permeabilitate	zece%	douăzeci%	treizeci%	40%
$\kappa$ = 1 mD	882	1764	2646	3528
$\kappa$ = 10 mD	88	176	265	353
$\kappa$ = 100 mD	9	optsprezece	27	35

Alte forme de scriere

Într-o serie de probleme aplicate, este convenabil să se utilizeze alte reprezentări ale ecuațiilor Gassmann, care pot fi derivate din forma de bază.

1. Forma implicită

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{uscat}}{K_{m}-K_{uscat}}}+{\frac {K_{f}} {\phi (K_{m}-K_{f)))));

2. Formular Reuss

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{uscat}}{K_{m}-K_{uscat}}}+{\frac {K_{R}} {K_{m}-K_{R}}},

{\frac {1}{K_{R}}}={\frac {\phi }{K_{f}}}+{\frac {1-\phi }{K_{m}}};

3. Form Biot

K=K_{uscat}+B^{2}M,

{\frac {1}{M}}={\frac {B-\phi }{K_{m}}}+{\frac {\phi }{K_{f}}};

B=1-{\frac {K_{uscat}}{K_{m}}},

Valoarea coeficientului Biot este determinată de proprietățile spațiului gol. Se poate demonstra că acest parametru caracterizează raportul dintre modificarea volumului porilor și modificarea volumului total al rocii în timpul deformării. $B$

Dezavantaje și limitări

Principalul dezavantaj al ecuațiilor Gassmann în practică este necesitatea de a specifica proprietățile elastice ale scheletului , care depind de mulți factori și sunt dificil de evaluat. $(K_{uscat}, G_{uscat})$

De asemenea, este important să se țină cont de limitarea compoziției frecvenței - la o frecvență a oscilațiilor elastice mai mare decât frecvența Biot , ecuația Gassmann descrie slab caracteristicile elastice ale mediilor bifazate din cauza neglijării mișcării fluidului în raport cu fază solidă.

Problemă de înlocuire a lichidului

Folosind ecuațiile de mai sus, este posibil să se estimeze modul în care proprietățile unei roci saturate cu proprietăți elastice cunoscute se vor schimba dacă se schimbă tipul de fluid saturat. În același timp, dacă se cunosc modulele elastice ale fluidelor, precum și componenta minerală a rocii, atunci pentru a rezolva problema nu este necesară stabilirea caracteristicilor elastice ale scheletului rocii. Această sarcină are o mare importanță practică în evaluarea gradului de influență a zăcămintelor de petrol sau gaze asupra rezultatelor cercetărilor geofizice.

Vezi și

Link -uri

Fizicienii stâncilor

Literatură

Alb J.E. Excitația și propagarea undelor seismice = Sunetul subteran / editor trans. N.N. Bubble. — M .: Nedra, 1986. — 261 p.
Gassmann, F. Uber Die elastizitat poroser medien // Vier, der Natur Gesellschaft. - 1951. - Nr. 96 . - S. 1-23 . (germană) (există o traducere în engleză )
Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. - Cambridge University Press, 2009. (engleză)
Nur, A., Mavko, G., Dvorkin, J. și Galmundi, D. Critical porozity: the key to relating physical properties to porozity in rocks, Proc. 65th Ann Int. întâlnire soc. Expl. Geophys.. - 1995. - Nr. 878 . (Engleză)
↑ Roberts, AP și Garboczi, EJ Proprietăți elastice ale ceramicii poroase model // J. Amer. societate ceramica. - 2000. - Nr. 83 . - S. 3041-3048 . (Engleză)