Ecuația Sine-Gordon

Ecuația sinus - Gordon este o ecuație diferențială parțială hiperbolică neliniară în dimensiuni 1 + 1, incluzând operatorul d'Alembert și sinusul unei funcții necunoscute. Inițial, a fost considerat în secolul al XIX-lea în legătură cu studiul suprafețelor cu curbură negativă constantă . Această ecuație a primit multă atenție în anii 1970 datorită soluțiilor sale solitonilor .

Originea ecuației și numele acesteia

Există două forme echivalente ale ecuației sinus-Gordon. In coordonatele spatio-temporale ( reale ), notate ( x , t ), ecuatia este

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0.

La trecerea la coordonatele conului de lumină ( u , v ) apropiate de coordonatele asimptotice , unde

u={\frac {x+t}{2)),\quad v={\frac {xt}{2)),

ecuația devine

\varphi _{uv}=\sin \varphi .

Aceasta este forma originală a ecuației sinus-Gordon în care a fost luată în considerare în secolul al XIX-lea în legătură cu studiul suprafețelor cu curbură Gaussiană constantă K = −1, numite și pseudosfere . Alegem un sistem de coordonate în care grila de coordonate u = const, v = const este dată de linii asimptotice parametrizate de lungimea arcului. Prima formă pătratică a suprafeței date în astfel de coordonate ia o formă specială:

ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},

unde φ este unghiul dintre liniile asimptotice, iar pentru a doua formă pătratică , L = N = 0. Atunci ecuația Peterson-Codazzi , reflectând condiția de compatibilitate dintre prima și a doua formă pătratică, conduce la ecuația sinus-Gordon. Studiul acestei ecuații și transformările corespunzătoare pseudosferei în secolul al XIX-lea de către Bianchi și Bäcklund au condus la descoperirea transformărilor lui Bäcklund .

Numele „ecuație sinus-Gordon” este un joc de cuvinte cu binecunoscuta ecuație Klein-Gordon din fizică :

\varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.

Ecuația sinus-Gordon este ecuația Euler-Lagrange pentru Lagrangian

{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi):={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .

Folosind expansiunea seriei Taylor a cosinusului

\cos(\varphi )=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}

într-un anumit Lagrangian, poate fi scris ca Klein-Gordon Lagrangian plus termeni de ordin superior

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{sine-Gordon}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^ {2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {( -\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}=\\&=2{\mathcal {L}}_{\text{Klein–Gordon}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}

Solitons

O proprietate interesantă a ecuației sinus-Gordon este existența soluțiilor solitonului și multisolitonului.

Soluție cu un singur sol

Ecuația sinus-Gordon are următoarele soluții de un soliton:

\varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta},

Unde

\gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}}.

Soluția cu un singur sol, pentru care am ales o rădăcină pozitivă pentru , se numește îndoială și reprezintă o buclă peste variabila , care duce o soluție la una adiacentă . Stările sunt cunoscute ca stări de vid , deoarece sunt soluții constante cu energie zero. Soluția de un singur sol în care am luat o rădăcină negativă se numește antikink . Forma soluțiilor cu un singur sol poate fi obținută prin aplicarea transformării Bäcklund la soluția trivială (vid constant) și integrând ecuațiile diferențiale de ordinul întâi rezultate: $\gamma$ $\varphi$ $\varphi=0$ $\varphi=2\pi$ $\varphi =0{\pmod {2\pi ))$ $\gamma$

\varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi}}),

\varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi {2}),\quad \varphi =\varphi _{0}=0.

Soluțiile cu un singur sol pot fi vizualizate folosind modelul de bandă elastică sine-gordon [1] . Să luăm o bobină în sensul acelor de ceasornic ( cu mâna stângă ) a unei benzi elastice ca o îndoire cu o sarcină topologică . O rotație alternativă în sens invers acelor de ceasornic ( pe dreapta ) cu o sarcină topologică ar fi un anti-inclinare. $\vartheta _{\textrm {K}}=-1$ $\vartheta _{\textrm {AK}}=+1$

Soluții cu două soluții

Soluțiile multi-soliton pot fi obținute prin aplicarea continuă a transformării Bäcklund la soluția cu un singur sol așa cum este prescris de rețeaua Bianchi corespunzătoare rezultatelor transformării [2] . Soluțiile de 2 solitoni ale ecuației sinus-Gordon prezintă unele proprietăți caracteristice solitonilor. Cursurile sinus-Gordon și/sau anti-inclinațiile trec unele prin altele ca fiind complet permeabile, iar singurul efect observat este o schimbare de fază . Deoarece solinii care se ciocnesc își păstrează viteza și forma , acest tip de interacțiune se numește ciocnire elastică .

Alte soluții interesante de două solitoni apar din posibilitatea unui comportament cuplat-anti-îndoire cunoscut sub numele de respirație . Sunt cunoscute trei tipuri de suflare: o suflare în picioare , una în alergare de amplitudine mare și una în alergare de amplitudine mică [3] .

Soluții de trei solitoni

Ciocnirile de trei solitoni între o îndoire în mișcare și o suflare în picioare sau un antiinclinare în mișcare și o suflare în picioare au ca rezultat o schimbare de fază a respirației în picioare. În timpul unei coliziuni între o îndoire în mișcare și o respirație în picioare, deplasarea acesteia din urmă este dată de relația $\Delta _{\textrm {B}}$

\Delta _{B}={\frac {2\operatorname {arctanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K))^{2}) ))}{\sqrt {1-\omega ^{2))))),

unde este viteza de îndoire și frecvența respirației [3] . Dacă coordonata respirației în picioare înainte de coliziune este , atunci după coliziune va deveni . $v_{{\text{K}}}$ $\omega$ $x_{0}$ $x_{0}+\Delta _{{\text{B}}}$

Ecuații înrudite

Ecuația Shinus-Gordon :

\varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .

Acestea sunt ecuațiile Euler-Lagrange pentru Lagrangian

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .

O altă strânsă legătură cu ecuația sinus-Gordon este ecuația eliptică sinus-Gordon :

\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi,

unde este o funcție a variabilelor x și y . Aceasta nu mai este o ecuație soliton, dar are multe proprietăți similare, deoarece este legată de ecuația sinus-Gordon prin continuarea analitică (sau rotația Wick ) y = it . $\varphi$

Ecuația eliptică shinus-Gordon poate fi definită într-un mod similar. O generalizare este dată de teoria câmpului Toda .

Versiunea Quantum

În teoria câmpului cuantic, modelul sinus-Gordon conține un parametru care poate fi identificat cu constanta lui Planck. Spectrul de particule constă dintr-un soliton, un antisoliton și un număr finit (posibil zero) de respirații. Numărul de respirații depinde de acest parametru. Nașterile multiple de particule se anulează în ecuațiile de mișcare.

Cuantizarea semiclasică a modelului sine-Gordon a fost realizată de Ludwig Faddeev și Vladimir Korepin [4] . Matricea exactă de împrăștiere cuantică a fost descoperită de Alexander și Alexei Zamolodchikov [5] . Acest model este s - dual cu modelul Thirring .

Într-un volum finit și pe o rază

Luați în considerare și modelul sinus-Gordon pe un cerc, un segment de linie dreaptă sau o rază. Este posibil să se selecteze condiții la limită care păstrează integrabilitatea modelului dat. Pe fascicul, spectrul particulelor conține stări limită în plus față de solitoni și respirații.

Model supersimetric sine-Gordon

Există, de asemenea, un analog supersimetric al modelului sinus-Gordon. Cu același succes, pot fi găsite condiții de limită care păstrează integrabilitatea.

Note

↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC Solitons and Nonlinear Wave Equations . Academic Press, Londra, 1982.
↑ Rogers C., Schief W.K. Bäcklund și Darboux Transformations . New York: Cambridge University Press, 2002.
↑ 1 2 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Arhivat 22 august 2010 la Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D., Korepin V. E. Teoria cuantică a solitonilor (engleză) // Physics Reports. - 1978. - Vol. 42 , iss. 1 . - P. 1-87 . - doi : 10.1016/0370-1573(78)90058-3 .
↑ Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. S -matrici factorizate în două dimensiuni ca soluții exacte ale anumitor modele relativiste de teorie cuantică a câmpurilor // Annals of Physics. — 1979-08-01. — Vol. 120 , iss. 2 . - P. 253-291 . - doi : 10.1016/0003-4916(79)90391-9 .

Link -uri

Polyanin AD, Zaitsev VF Manual de ecuații cu diferențe parțiale neliniare . Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
Rajaraman R. Solitons and instantons . Biblioteca personală din Olanda de Nord, 1989.