Ecuații Euler

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 martie 2013; verificările necesită 7 modificări .

În fizică , ecuațiile lui Euler descriu rotația unui corp rigid într-un sistem de coordonate legat de corpul însuși.

Concluzie

În cadrul de referință al unui observator din exterior, ecuațiile mișcării de rotație au forma

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf { I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M}

Sub această formă, ecuațiile sunt puțin utile pentru practică, deoarece, în cazul general, ambele componente ale momentului de impuls - tensorul momentului de inerție și pseudovectorul vitezei unghiulare - depind de timp. Ideea lui Euler a fost să treacă la un cadru de referință legat rigid de un corp rotativ. În acest sistem, tensorul momentului de inerție este constant și poate fi luat ca o derivată. Pentru o simplificare suplimentară, alegem axele sale principale de inerție ca axele fixe ale corpului. Astfel, putem împărți modificarea momentului unghiular într-o componentă care descrie modificarea mărimii și o componentă care compensează această schimbare de direcție . $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Atunci ecuațiile iau forma:

\left({\frac {d\mathbf {L} {dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }+\mathbf {\omega} \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

unde este momentul unghiular al corpului în raport cu axele spațiale, este modificarea momentului unghiular al corpului față de axele sale fixe, rata de schimbare a unghiurilor Euler ale axelor asociate corpului în raport cu axele spațiale și este cuplul extern. $\mathbf{L}$ $\left({\frac {d\mathbf {L} {dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf{\omega}$ ${\mathbf {N}}$

dacă îl înlocuim cu componente , atunci îl putem înlocui cu o expresie . dacă alegem ca vectorii de bază să coincidă cu axele principale de inerție ale corpului, atunci primii trei termeni sunt egali , iar restul de trei sunt . $\mathbf{L}$ $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _ {3}\mathbf {e} _{3}$ ${\frac {d\mathbf {L} {dt)}$ $I_{1}{\dot {\omega }}_{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}{\dot {\omega }}_{3}\mathbf {e} _{3}+{\frac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}} \omega _{1}I_{1}+{\frac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}\omega _{2}I_{2}+{\frac {d\mathbf {e } } _{3}}{dt}}\omega _{3}I_{3}$ $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$ $\left({\frac {d\mathbf {L} {dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf {\omega } \times \mathbf {L}$

Atunci ecuațiile lui Euler sub formă de componente iau forma:

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\ omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _ {1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2 }\\\end{matrice}}

De asemenea, se pot folosi aceste trei ecuații dacă axele în care este scris nu sunt legate de corp. Apoi ar trebui înlocuit cu rotația axelor în loc de rotația corpului. Cu toate acestea, este încă necesar ca axele selectate să fie axele principale de inerție! Această formă a ecuațiilor Euler este convenabilă de utilizat pentru obiectele care au simetrie de rotație , ceea ce permite alegerea arbitrară a unora dintre axele principale de inerție. $\left({\frac {d\mathbf {L} {dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf{\omega}$

Tip de ecuații într-un sistem de coordonate local arbitrar

Este posibil să alegeți un sistem local care nu coincide cu axele principale de inerție ale corpului. În acest caz, ecuațiile iau forma

N_{s}=I_{sq}{\dot {\omega }}_{q}+\varepsilon _{stp}\omega _{t}I_{pq}\omega _{q},

unde este tensorul de inerție al corpului în sistemul de coordonate local ales. $I_{sq)$

Vezi și

Formula lui Euler (cinematica unui corp rigid) pentru legătura vitezelor punctelor unui corp rigid
Lista obiectelor numite după Leonhard Euler