Cuboid perfect

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 august 2021; verificările necesită 4 modificări .

Un cuboid perfect [1] este un paralelipiped dreptunghiular , în care toate cele șapte mărimi de bază (trei muchii, diagonalele fețelor sale și diagonala paralelipipedului însuși) sunt numere naturale. Cu alte cuvinte, un cuboid perfect este o soluție a sistemului următoarelor ecuații diofantine în numere naturale:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b ^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}

Încă nu se știe dacă există un astfel de paralelipiped. Enumerarea computerizată nu a găsit niciun cuboid perfect cu muchii până la 3·10 12 [2] [1] . Cu toate acestea, au fost găsite mai multe paralelipipede „aproape perfecte”, în care toate cantitățile sunt numere întregi, cu excepția unuia:

$(672,153,104)$ una dintre diagonalele feței este neîntreg.
$(18\,720,{\sqrt {211\,773\,121)),7800)$ , — una dintre muchii este neîntreg. $(520.576,{\sqrt {618\,849)})$
Un număr mare de paralelipipede Euler (cu o diagonală spațială neîntregătoare, vezi mai jos ).
Paralepipedele oblice, în care toate dimensiunile liniare sunt numere întregi. În acest caz, un unghi nedrept este suficient [3] [4] [5] .

Din septembrie 2017, căutarea cuboidului perfect a fost începută de proiectul de calcul distribuit yoyo@home [6]

cutia lui Euler

Un paralelipiped dreptunghic în care doar muchiile și diagonalele fețelor sunt numere întregi se numește Euler. Cel mai mic dintre paralelipipedele Euler - (240, 117, 44), cu diagonalele feței 267, 244 și 125, a fost găsit de Paul Halke în 1719 [1] . Încă câteva paralelipipede Euler:

(275, 252, 240)
(693, 480, 140),
(720, 132, 85),
(792, 231, 160).

Euler a descris două familii de paralelipipede Euler (de unde și numele) care sunt date prin formule similare cu cele pentru triplele pitagorice . Aceste familii nu includ toate paralelipipedele Euler. Se știe că printre ele nu poate exista un cuboid perfect [1] . Nu există o descriere completă a tuturor paralelipipedelor Euler.

Una dintre familiile obţinute de Euler este dată de formulele pentru : $n>3$

a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n

Următoarele cerințe sunt cunoscute pentru paralelipipedul Euler (și, prin urmare, pentru cuboidul perfect) [7] :

O margine este divizibilă cu 4, a doua este divizibilă cu 16, a treia este impară (cu excepția cazului în care, desigur, este primitivă - adică mcd ( a ,  b ,  c ) = 1).
O margine este divizibilă cu 3 și alta cu 9.
O margine este divizibilă cu 5.
O margine este divizibilă cu 11.

Există o modalitate „non-formulă” de a obține valorile laturilor casetei Euler „derivate” pe baza valorilor casetei Euler „părinte” (8). Pentru a face acest lucru, trei triunghiuri cu valori întregi ale laturilor sunt selectate în figură. În continuare - din triunghiurile obținute prin selectarea valorii cotangentei lor - se determină triple pitagoreice. Aceste triple sunt introduse în tabel. Primind un aranjament încrucișat în tabelul a două valori (din trei) ale triplelor pitagoreene (folosind un anumit algoritm de operații matematice), se calculează valorile celor trei laturi ale paralelipipedului Euler „derivat”.

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 Ian Stewart . Cele mai mari probleme de matematică. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 407. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
↑ Bill Butler, The "Integer Brick" Problem Arhivat la 30 august 2007 la Wayback Machine
↑ JF Sawyer, CA Reiter, Perfect parallelepipeds exist Arhivat la 6 iulie 2015 la Wayback Machine , Math. Comp. 80 (2011), nr. 274, p. 1037-1040.
↑ BD Sokolowsky, AG VanHooft, RM Volkert, CA Reiter, An infinite family of perfect parallelepipeds Arhivat la 6 iulie 2015 la Wayback Machine , Math. Comp. 83 (2014), nr. 289, p. 2441-2454.
↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids , arXiv:1506.02215v2 Arhivat 23 ianuarie 2018 la Wayback Machine [math.NT] 27 iunie 2015.
↑ yoyo@home . Preluat la 22 ianuarie 2018. Arhivat din original la 22 ianuarie 2018. (nedefinit)
↑ Primitive Euler Bricks Arhivat 24 februarie 2020 la Wayback Machine .