Topologie 4D

Topologia cu patru dimensiuni este o ramură a topologiei care studiază varietatile topologice și netede cu patru dimensiuni .

Varietățile 4-dimensionale apar în relativitatea generală ca spațiu -timp .

Proprietăți speciale

În dimensiunea 4, teoria varietăților topologice și netede este foarte diferită de cele ale dimensiunilor inferioare și mai mari.

În toate dimensiunile, cu excepția 4, punerea la zero a clasei Kirby-Siebenmann oferă o condiție necesară și suficientă pentru existența unei structuri liniare pe bucăți.
În toate dimensiunile, cu excepția 4, o varietate topologică compactă are doar un număr finit de structuri diferite liniare și netede pe bucăți. În dimensiunea 4, numărul lor poate fi numărat.
În toate dimensiunile, cu excepția 4, spațiul euclidian nu are structuri exotice netede. În dimensiunea 4 există un număr nenumărat de ele.
Soluția conjecturii netede Poincare este cunoscută în toate dimensiunile cu excepția 4 (de regulă, nu este adevărată în dimensiunile începând de la 7).
- Conjectura Poincaré pentru varietăți liniare pe bucăți este de asemenea rezolvată pentru toate dimensiunile cu excepția 4.
Teorema h-cobordismului neted este adevărată cu condiția ca nici varietatea, nici granița ei să nu aibă dimensiunea 4. Nu este adevărată dacă granița este de dimensiunea 4 (după cum arată Donaldson ) și nu se știe dacă este adevărată dacă dimensiunea a cobordismului în sine este 4.
Trucul lui Whitney nu funcționează în dimensiunea 4.

Clasificare

Topologic

Tipul de homotopie al unei 4-variete compacte conectate simplu depinde numai de forma sa de intersecție .

Prin teorema lui Friedmann , varietățile de acest tip sunt clasificate până la homeomorfism printr-o formă de intersecție și un Z /2 Z -invariant, așa-numita clasă Kirby-Siebenmann .
- Mai mult, poate apărea orice combinație a unei forme unimodulare și a unei clase Kirby-Siebenmann, cu excepția cazului în care forma este pară, caz în care clasa Kirby-Siebenmann trebuie să fie egală cu , unde denotă semnătura formei de intersecție. $\tau /8{\pmod {2}}$ $\tau$

Exemple:

În cazul particular când forma este 0, teorema oferă un caz 4-dimensional al conjecturii topologice Poincaré .
Dacă forma este egală cu E8 , se obține așa - numita varietate E8 . Această varietate nu admite triangularea.
Pentru forma Z , există două varietăți în funcție de clasa Kirby-Siebenmann: un spațiu proiectiv complex bidimensional și un spațiu proiectiv fals (de același tip de homotopie, dar nu homeomorf pentru acesta).
Când rangul este mai mare de 28, numărul de forme unimodulare pozitiv-definite începe să crească extrem de rapid. Prin urmare, apare un număr mare de 4-variete topologice corespunzătoare conectate simplu.

Clasificarea lui Friedman poate fi extinsă în unele cazuri în care grupul fundamental nu este prea complicat. De exemplu, dacă este izomorf cu Z , atunci există o clasificare folosind forme hermitiene peste inelul grupului Z. În cazul unor grupuri fundamentale prea mari (de exemplu, un grup liber cu 2 generatoare), metoda lui Friedmann nu este aplicabilă și se cunosc foarte puține despre astfel de soiuri.

Pentru orice grup dat finit, există o varietate netedă compactă 4-dimensională a cărei grup fundamental este izomorf cu acest grup. Deoarece nu există un algoritm pentru a determina dacă două grupuri date sunt izomorfe, nu există un algoritm pentru a determina când două soiuri au grupuri fundamentale izomorfe. Acesta este unul dintre motivele pentru care o mare parte din lucrările pe 4-variete se ocupă de cazul simplu conectat: se știe că multe probleme sunt de nerezolvat în cazul general.

Smooth

Pentru o varietate de dimensiune de cel mult 6, orice structură liniară pe bucăți poate fi netezită într-un mod unic. [1] În special, clasificarea varietăților liniare 4-dimensionale pe bucăți nu diferă de teoria varietăților netede 4-dimensionale.

Deoarece clasificarea topologică este cunoscută, clasificarea 4-varietăților compacte netede conectate simplu se reduce la două întrebări:

Ce varietati topologice sunt netezibile?
Cum se clasifică structurile netede pe colectoare netede?

Prima întrebare are un răspuns aproape complet. În primul rând, clasa Kirby-Siebenmann trebuie anulată, iar în al doilea rând:

Dacă forma de intersecție este definită de semn, atunci teorema lui Donaldson oferă un răspuns complet: o structură netedă există dacă și numai dacă forma este diagonalizabilă.
Dacă forma nu este definită de semn și impară, atunci există o structură netedă.
Dacă forma este nedefinită și pară, putem presupune că are o semnătură nepozitivă (în caz contrar schimbați orientarea). În acest caz, răspunsul depinde de dimensiunea formularului și de semnătura acestuia . $d$ $\tau$
- Dacă , atunci există o structură netedă; este dat luând suma conexă a mai multor copii ale suprafețelor K3 și . $8d\geqslant 11\tau$ $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$
- Dacă , atunci, după teorema Furuta, nu există o structură netedă. $8d\leqslant 10\tau$
- În decalajul rămas, între 10/8 și 11/8, răspunsul este în mare parte necunoscut. Așa-numita „ipoteză 11/8” afirmă că nu există o structură netedă dacă dimensiunea/|semnătura| mai puțin de 11/8.

În prezent, nu există o singură varietate netezită cunoscută pentru care să fie cunoscut răspunsul la a doua întrebare. În prezent, nu există o ipoteză plauzibilă despre cum ar putea arăta această clasificare.

Donaldson a arătat că pe unele 4-variete compacte conectate simplu, cum ar fi suprafețele Dolgachev , există un număr infinit infinit de structuri netede distincte.

Există un număr nenumărat de structuri netede diferite pe R4 .

Note

↑ Milnor, John . Topologie diferențială patruzeci și șase de ani mai târziu // Notices of the American Mathematical Society . - 2011. - T. 58 , nr. 6 . — S. 804–809 . MR : 2839925

Literatură

Mandelbaum R. Topologie cu patru dimensiuni. — M .: Mir, 1981. — 286 p.