D cu liniuță-transformă

D cu bar-transform este o transformare integrală asociată cu transformări Laplace continue și discrete . Direct D cu o bară-transformare asociază imaginea unei funcții continue cu imaginea funcției discrete corespunzătoare. Este utilizat pe scară largă în secțiunile teoriei controlului legate de sistemele discrete.

Definiție

Fie imaginea Laplace a unei funcții continue și imaginea funcției discrete corespunzătoare , unde T este perioada de eșantionare, . $X_{T}(p)$ $x_{T}(t)$ $X^{*}(q,\varepsilon )$ $x[n,\varepsilon ]=x_{T}((n+\varepsilon )T)$ $n\in \mathbb {N} \cup \{0\)$

Să introducem o funcție . Apoi $X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$

X^{*}(q,\varepsilon )={\overline {\mathcal {D))}\{X(q)\}={\frac {1}{2\pi j))\int \limits _{cj\infty }^{c+j\infty }X(\eta ){\frac {e^{q}}{e^{q}-e^{\eta }}}e^{\ varepsilon \eta }d\eta ,~\mathrm {Re} \,q>c

Se poate arăta [1] că

X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{k=1}^{l}{\underset {\eta =\eta _{k)}{\mathrm {Res} }}{ \frac {e^{q}e^{\varepsilon \eta }}{e^{q}-e^{\eta }}}X(\eta ),

unde reziduurile sunt preluate pe toți polii funcției și că $X(q)$

X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{r=-\infty }^{+\infty }e^{\varepsilon (q+2\pi jr)}X(q+2 \pi jr)

Formula pentru D invers cu conversie de bare:

X(q)={\overline {\mathcal {D))}^{-1}\{X^{*}(q,\varepsilon )\}=\int \limits _{0}^{ 1}e^{-q\varepsilon }X^{*}(q,\varepsilon )d\varepsilon

Proprietăți

Linearitate: ${\overline {\mathcal {D))}\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{i}(q)\right\}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overline {\mathcal {D}}}\{X_{i}(q)\}$
Înmulțiți cu : $e^{kq},~k\in \mathbb {Z}$ ${\overline {\mathcal {D}}}\{e^{kq}X(q)\}=e^{kq}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q) \}$
Înmulțiți cu : $e^{-\gamma q},~0<\gamma <1$ ${\overline {\mathcal {D)}}\{e^{-\gamma q}X(q)\}={\begin{cases}e^{-q}X^{*}(q ,1+\varepsilon -\gamma ),&0\leqslant \varepsilon <\gamma ,\\X^{*}(q,\varepsilon -\gamma ),&\gamma \leqslant \varepsilon <1\end{cases} }$
Deplasarea q cu ±λ: ${\overline {\mathcal {D)}}\{X(q\pm \lambda )\}=e^{\mp \lambda \varepsilon}X^{*}(q\pm \lambda ,\ varepsilon)$
Înmulțirea cu q: ${\overline {\mathcal {D}}}\{qX(q)\}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}{\overline {\mathcal {D}}}\{ X(q)\}$
Împărțire după q: ${\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {X(q)}{q}}\right\}=\int \limits _{0}^{\varepsilon }{ \overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon +{\frac {1}{e^{q}-1}}\int \limits _{0}^{1} {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon$
Diferențierea față de q: ${\overline {\mathcal {D)}}\left\({\frac {d}{dq))X(q)\right\}={\frac {\partial }{\partial q)} {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}-\varepsilon {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}$

Tabelul unor transformări

$X_{T}(s)={\mathcal {L}}\{x_{T}(t)\}$	$X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$	$X^{*}(q,\varepsilon )={\mathcal {D}}\{x[n,\varepsilon ]\}={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q )\}$
${\frac {1}{s)}$	${\frac {1}{q)}$	${\frac {e^{q}}{e^{q}-1}}$
${\frac {T}{Ts+\beta }}$	${\frac {1}{q+\beta }}$	${\frac {e^{q}e^{-\beta \varepsilon }}{e^{q}-e^{-\beta }}}$
${\frac {T}{T^{2}s^{2}+2\zeta Ts\beta +\beta ^{2)))$	${\frac {1}{q^{2}+2\zeta q\beta +\beta ^{2)}}$	${\frac {e^{q}e^{-\zeta \beta \varepsilon }(e^{q}\sin \beta \varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2)}}+ e^{-\zeta \beta }\sin \beta (1-\varepsilon ){\sqrt {1-\zeta ^{2))})}{\beta {\sqrt {1-\zeta ^{2} }}(e^{2q}-2e^{q}e^{-\zeta \beta }\cos \beta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+e^{-2\zeta \ beta })}}$

Note

↑ Golovanov M. A., Ivanov V. A. Note de curs la cursul „Teoria sistemelor digitale automate de control”: Partea 1. - M .: Editura MGTU, 1990. - S. 44−46.