Axioma booleană

Axioma existenței unui boolean ( axioma mulțimii de submulțimi ) se formulează astfel: „din orice mulțime se poate forma un boolean , adică o mulțime care este formată din toate submulțimile proprii și improprii ale unei mulțimi date . ." Conform teoriei mulțimilor, matematic această axiomă este scrisă după cum urmează: $d$ $b$ $A$

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\la c\in a)\ )

Axioma booleană specifică tipul de mulțimi (submulțimi ale unei mulțimi ) care trebuie să fie elemente ale mulțimii generate . În același timp, axioma booleană nu conține un algoritm pentru găsirea tuturor elementelor mulțimii formate . $A$ $d$ $d$

Axioma booleană poate fi dedusă din următoarele afirmații:

$\există d\forall b\ (b\subseteq a\la b\in d)$

$\forall d\există c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)$

Prima dintre aceste afirmații este una dintre consecințele axiomei booleene, iar a doua este una din specificarea schemei de selecție .

Ghidat de axioma volumului , se poate dovedi unicitatea booleanului pentru fiecare multime . Cu alte cuvinte, se poate demonstra că axioma booleană este echivalentă cu afirmația $A$

\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

ce este .

\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b: b\subseteq a\})\ )

Formulări alternative ale axiomei

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ , Unde $b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\la c\in a)$

$\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})$

$\forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))$

Axioma booleană

Formulări alternative ale axiomei

Vezi și