Axioma volumetrică

Axioma volumului se numește următoarea afirmație a teoriei mulțimilor :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

Dacă rescriem axioma volumului sub forma

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\\land \\forall b\ (b\ în a_{2}\to b\în a_{1})\to a_{1}=a_{2})

atunci axioma poate fi formulată după cum urmează:

„Indiferent de cele două seturi, dacă fiecare element din primul set aparține celui de-al doilea set și fiecare element din al doilea set aparține primului set, atunci primul set este identic cu al doilea set.”

O altă formulare [1] :

„Două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă constau din aceleași elemente.”

Alte formulări ale axiomei 3D

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\\land \a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{ 2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\\veebar \b\in a_{ 2})\ )$

Note

Axioma volumului exprimă condiția necesară pentru egalitatea a două mulțimi. O condiție suficientă pentru egalitatea mulțimilor este derivată din axiomele predicatelor , și anume: $=$

\forall a\ (a=a)

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))

, unde este orice judecată corectă din punct de vedere matematic despre , și este aceeași judecată, dar despre .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Combinând condiția suficientă indicată pentru egalitatea mulțimilor cu axioma volumului , obținem următorul criteriu pentru egalitatea mulțimilor :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2}) \ )

Acest criteriu de egalitate a mulțimilor nu este mai rău și nici mai bun decât alte criterii similare, inclusiv:

1) criteriul egalității numerelor complexe

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\\land \ y=v))

2) criteriul de egalitate a perechilor ordonate

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\\land \y=v)\ )

3) criteriul de egalitate a perechilor neordonate

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\\land \y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )

4) criteriul egalității a două secvențe

\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})

Este clar din cele de mai sus că axioma volumului este o parte organică a axiomaticii teoriei mulțimilor.

Axioma volumului este folosită pentru a demonstra unicitatea unei mulțimi a cărei existență a fost deja declarată [prin axiomă] sau stabilită [prin demonstrarea teoremei].

Exemple

1. Dovada unicității mulțimii goale

Existența [cel puțin o] mulțime goală este declarată de axiomă

\există a\forall b\ (b\notin a)

Este necesar să se dovedească existența a cel mult o mulțime , pentru care afirmația este adevărată $A$

\forall b\ (b\notin a)

Cu alte cuvinte, trebuie să dovedim

\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))

Sau, ceea ce este la fel, se cere să se dovedească

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\\land \\forall b(b\notin a_{2})\to a_{1 }=a_{2})

Dovada

{\begin{aliniat}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\în a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}

Deoarece , dovada unicității mulțimii goale este completă. $\exists a\forall b\ (b\notin a)\\land \\exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a \forall b\ (b\notin a)$

2. Dovada unicității mulțimii de submulțimi

Existența [cel puțin unui] set de submulțimi este declarată de axiomă

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Este necesar să se dovedească existența a cel mult o mulțime , pentru care afirmația este adevărată $d$

\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Cu alte cuvinte, trebuie să dovedim

\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))

Sau, ceea ce este la fel, se cere să se dovedească

\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\\land \\forall b\ (b\in d_{ 2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})

Dovada

{\begin{aliniat}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\\Rightarrow \forall b(b\in d_ {1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}

Deoarece , dovada unicității mulțimii de submulțimi este completă. $\există d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\\land \\exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Vezi și

Axiomatica teoriei multimilor

Note

↑ Stoll R. Seturi. Logice. teorii axiomatice. - M., Iluminismul, 1968. - Tiraj 70.000 exemplare. - p. 13

Axioma volumetrică

Alte formulări ale axiomei 3D

Note

Vezi și

Note

Literatură