Algebra operatorilor de vârf

Algebrele operatorilor de vârf au fost introduse pentru prima dată de Richard Borcherds în 1986 . Important pentru teoria corzilor , teoria câmpului conform și domeniile conexe ale fizicii. Axiomele algebrei operatorilor de vârf sunt interpretarea algebrică formală a ceea ce fizicienii numesc algebră chirală .

Algebrele operatorilor de vârf s-au dovedit utile în domenii pur matematice, cum ar fi Corespondența Geometrică Langlands și demonstrarea conjecturii monstruoase fără sens .

Exemple

Rețeaua Z din R oferă o superalgebră de operatori de vârf corespunzător unui fermion complex . Acesta este un alt mod de a formula corespondența bosonic-fermionică . Câmpul fermionic ψ( z ) și câmpul său conjugat ψ † ( z ) sunt date de:

\psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\dagger }(z)=\sum e_{n}^{*}z^{ n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I .

Corespondența dintre fermioni și un câmp bosonic încărcat

\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I ,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I

ia forma

\phi (z)=\;\colon \psi ^{\dagger }(z)\psi (z)\colon

\psi (z)=U\;\colon \exp \int \phi (z)\colon

unde exponenții normali sunt interpretați ca operatori de vârf.

Rețeaua √2 Z în R dă operatorul de vârf algebra corespunzătoare algebrei Kac-Moody afine pentru SU ( 2) la primul nivel . Este implementat de câmpuri

H(z)=\phi(z)\otimes I - I\otimes \phi(z)

E(z)=\psi(z)\otimes \psi^\dagger(z)

F(z)=\psi^\pumnal(z)\otimes \psi(z)

Literatură

Lepowski D., Lee H. Introducere în algebrele operatorilor de vârf și reprezentările lor. - Izhevsk: RHD 2008. - 424 p. — ISBN 978-5-93972-664-1
Kats VG Vertex algebre pentru începători / Per. din engleza. — M.: MTsNMO, 2005. — 200 p. — ISBN 5-94057-124-7 .
Shekhtman VV Algebre de vârf legate de soiurile algebrice. — pp. 91-104 Arhivat la 8 februarie 2013 la Wayback Machine .