Secvență alicotă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 3 octombrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , o secvență alicotă este o secvență recursivă în care fiecare termen este suma divizorilor proprii ai termenului anterior. O secvență alicotă care începe cu un număr întreg pozitiv k poate fi definită formal în termenii funcției de sumă a divizorilor σ 1 după cum urmează [1] :

s 0 = k s n = σ 1 ( s n −1 ) − s n −1 .

De exemplu, secvența alicotă pentru numărul 10 este 10, 8, 7, 1, 0 deoarece:

σ 1 (10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8 σ 1 (8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7 σ 1 (7) − 7 = 1 σ 1 (1) − 1 = 0

Multe secvențe alicote se termină cu zero (secvența A080907 în OEIS ), și toate astfel de secvențe se termină într -un număr prim urmat de unul (pentru că singurul divizor propriu al unui număr prim este unu) și un zero (pentru că unul nu are divizori intrinseci). ). Există, de asemenea, câteva cazuri în care secvența alicotă este infinită:

Lungimile secvențelor alicote care încep cu n :

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (secvența A044050 în OEIS ).

Ultimul element al secvențelor alicote (fără a include 1) începând cu n :

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (secvența A115350 în OEIS ).

Numere ale căror secvențe alicote se termină cu 1:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (secvența A08907) în OEIS ).

Numere ale căror secvențe alicote se termină într -un număr perfect :

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (secvența A063769 în OEIS ).

Numere ale căror secvențe alicote se termină cu un ciclu de lungime 2:

220 284 562 1064 1184 1188 1210 1308 1336 1380 1420 1490 1604 1690 1692 1772 1816 1898 2008 2008 21225 E 721250 7212000 .

Numere pentru care nu se știe dacă secvențele lor alicote sunt finite sau periodice:

276 306 396 552 564 660 696 780 828 888 966 996 1074 1086 1098 1104 1134 1218 1302 1314 1320 1338 135.0 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (Secvența A131884 în OEI ).

O presupunere importantă cu privire la secvențele alicote, datorată catalanului , este presupunerea că orice secvență alicotă se termină într-unul dintre modurile enumerate - un număr prim, un număr perfect, un set de numere prietenoase sau un set de numere însoțitoare [2] . În caz contrar, trebuie să existe numere a căror secvență alicotă este infinită și aperiodică . Oricare dintre numerele menționate mai sus, pentru care secvența alicotă nu este complet determinată, poate fi un astfel de număr. Primii cinci candidați sunt numiți cei cinci ai lui Lehmer (după matematicianul american Dick Lehmer ): 276 , 552, 564, 660 și 966 [3] .

Până în decembrie 2013, sunt cunoscute 898 numere întregi pozitive mai mici de 100.000 pentru care nu a fost stabilită o secvență alicotă și 9205 astfel de numere mai mici de 1.000.000 [4] .

Proprietăți

O secvență alicotă își păstrează paritatea mult timp [5] [6] . Schimbarea parităţii are loc asupra membrilor speciei şi

Note

  1. ^ Weisstein, Eric W. Aliquot Sequence pe site- ul Wolfram MathWorld .  
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Catalan's Aliquot Sequence Conjecture  pe site- ul Wolfram MathWorld .
  3. ↑ Lehmer Five (W. Creyaufmüller)
  4. ↑ Aliquot Pagini (W. Creyaufmüller)
  5. ↑ Richard K. Guy și JL Selfridge. Ce determină o secvență alicotă?  (ing.)  // Matematica calculului : jurnal. - 1975. - Vol. 29 , nr. 129 . - P. 101-107 .
  6. ↑ Wieb Bosma. Secvențe alicote cu valori inițiale mici .

Literatură

Link -uri