Diagrama vectoriala

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 iunie 2019; verificările necesită 3 modificări .

O diagramă vectorială este o reprezentare grafică a mărimilor care se modifică conform legii sinusului (cosinus) și a relațiilor dintre ele folosind segmente direcționate - vectori . Diagramele vectoriale sunt utilizate pe scară largă în inginerie electrică , acustică , optică , teoria vibrațiilor și așa mai departe.

Oscilația armonică (adică sinusoidală) poate fi reprezentată grafic ca o proiecție pe o anumită axă (de obicei se ia axa de coordonate Ox) a unui vector care se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω. Lungimea vectorului corespunde amplitudinii , unghiul de rotație în jurul axei (Ox) corespunde fazei .

Suma (sau diferența) a două sau mai multe oscilații pe diagrama vectorială este reprezentată în acest caz de suma (geometrică) [1] (sau diferența) vectorilor acestor oscilații. Valoarea instantanee a cantității dorite este determinată în acest caz de proiecția vectorului sumă pe axa Ox, amplitudinea este lungimea acestui vector, iar faza este unghiul de rotație a acestuia față de Ox.

Diagrame vectoriale și reprezentare complexă

Diagramele vectoriale pot fi considerate o variantă (și ilustrare) a reprezentării oscilațiilor ca numere complexe . Cu o astfel de comparație, axa Ox corespunde axei numerelor reale, iar axa Oy corespunde axei numerelor pur imaginare (vectorul unitar pozitiv de-a lungul căruia există o unitate imaginară ).

Atunci un vector de lungime A , care se rotește în plan complex cu o viteză unghiulară constantă ω cu un unghi inițial φ 0 , se va scrie ca număr complex.

Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})},

și partea ei reală

\mathrm {Re} {\big (}Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}{\big )}=A\mathrm {cos} {\big (}\omega t+\ varphi _{0}{\big )},

-există o oscilaţie armonică cu o frecvenţă ciclică ω şi o fază iniţială φ 0 .

Deși, după cum se poate observa din cele de mai sus, diagramele vectoriale și reprezentarea complexă a oscilațiilor sunt strâns legate și reprezintă de fapt variante sau laturi diferite ale aceleiași metode, ele au totuși propriile caracteristici și pot fi utilizate separat.

Metoda diagramelor vectoriale poate fi prezentată separat în cursurile de inginerie electrică sau fizică elementară, dacă dintr-un motiv sau altul (de obicei asociat cu un nivel moderat de pregătire matematică a studenților și lipsă de timp) este necesar să se evite utilizarea numerelor complexe. (în mod explicit) în general.
Metoda de reprezentare complexă (care, dacă este necesar sau dorit, poate include și o reprezentare grafică, care, totuși, este complet opțională și uneori redundantă) este în general mai puternică, deoarece include în mod firesc, de exemplu, compilarea și soluționarea sistemelor. de ecuații de orice complexitate, în timp ce metoda diagramelor vectoriale în forma sa cea mai pură este încă limitată la sarcini care implică însumarea, care pot fi descrise într-un singur desen.
Cu toate acestea, metoda diagramelor vectoriale (în forma sa pură sau ca componentă grafică a metodei de reprezentare complexe) este mai vizuală și, prin urmare, în unele cazuri, potențial mai fiabilă (vă permite într-o oarecare măsură să evitați erorile aleatorii grosolane care pot apărea în calcule algebrice abstracte) și vă permite în unele cazuri să obțineți într-un anumit sens o înțelegere mai profundă a problemei.

Exemple de aplicații

mecanică; oscilator armonic

Un oscilator armonic în mecanică și un oscilator armonic de orice natură reprezintă în mod formal o analogie exactă, așa că le vom lua în considerare într-un singur paragraf folosind exemplul unui oscilator armonic mecanic.
Utilizarea diagramelor vectoriale în mecanică se reduce în principal la cazul unui oscilator armonic (inclusiv cazul unui oscilator cu o forță de frecare liniară în viteză); cu toate acestea, diagramele vectoriale pot fi utile într-o oarecare măsură pentru studierea mai multor oscilatoare, inclusiv în limita numărului lor infinit (pentru oscilații sau unde în sisteme distribuite).
Din punct de vedere modern, aplicarea diagramelor vectoriale la un oscilator armonic este mai probabil doar de interes istoric și pedagogic, dar cu toate acestea, în principiu, sunt destul de aplicabile aici.
În mecanică, utilizarea diagramelor vectoriale (de obicei se referă la aplicarea lor la un oscilator unidimensional) are particularitatea că adăugarea unei a doua coordonate pentru transformarea vibrațiilor în rotație poate avea nu numai o semnificație abstractă pur formală, ci și pentru una. sistem mecanic -dimensional de acest fel, poate fi indicat un sistem mecanic bidimensional, pentru care diagrama vectorială este realizată mai întâi ca o mișcare mecanică bidimensională complet reală, iar toți vectorii sunt într-adevăr bidimensionali (și după proiectarea tuturor ele și mișcarea unui punct al sistemului bidimensional pe o axă, obținem valorile instantanee ale mărimilor corespunzătoare - inclusiv poziția - pentru sistemul unidimensional corespunzător); Astfel, pentru un sistem mecanic unidimensional este posibil nu doar un model matematic formal, ci și un model mecanic real care convertește o mișcare unidimensională oscilativă într-o mișcare de rotație într-un spațiu bidimensional, realizând o diagramă vectorială pentru un sistem unidimensional.

Să luăm în considerare două cazuri principale de aplicare simplă a diagramelor vectoriale în mecanică (după cum sa menționat mai sus, aplicabilă și unui oscilator armonic nu numai mecanic, ci de orice natură): un oscilator fără amortizare și fără forță externă și un oscilator cu ( liniară) amortizare (vâscozitate) și antrenare externă prin forță.

Vibrații armonice libere fără amortizare

Ideea, într-o formulare mecanică, este de a completa mișcarea unidimensională la una bidimensională în așa fel încât vectorul viteză să aibă aceeași componentă de-a lungul axei x ca în cazul unidimensional și să fie perpendicular pe vectorul rază (a cărui proiecție pe axa x este coordonata x într-un sistem unidimensional).

Dacă viteza bidimensională (pe diagramă) nu se schimbă în mărime (modulo), atunci se poate arăta că accelerația este, de asemenea, direcționată în unghi drept cu viteza și este direcționată exact opus vectorului rază ( accelerația centripetă ) .

În ceea ce privește raportul mărimilor vectorilor, atunci, pe baza faptului geometric destul de evident că capătul oricărui vector de lungime L , care se rotește în jurul originii sale cu o frecvență unghiulară ω , descrie un cerc a cărui lungime este egală cu ωL ( unde L este raza sa curentă ) și , presupunând că mișcarea în diagrama bidimensională este pur rotațională, este ușor de înțeles că viteza liniară a punctului final va fi -

|{\vec {v}}|=|{\dot {\vec {r}}}|=\omega |{\vec {r}}|,

iar accelerația liniară va fi

|{\vec {a}}|=|{\dot {\vec {v}}}|=\omega |{\vec {v}}|.

Adică, pentru vectorul de accelerație, constatăm că valoarea acestuia este egală cu și direcția este opusă direcției (datorită întoarcerii de două ori cu 90 de grade). $\vec a$ $\omega ^{2}|{\vec {r}}|,$ ${\vec {r))$

(Astfel am primit, pe parcurs, și teorema accelerației centripete [2] ).

Printr-o extensie naturală a forței de restabilire a unui oscilator unidimensional

F=-kx

la cea bidimensională, care îndeplinește condiția ca componenta x a forței să coincidă cu cea unidimensională, va fi

{\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

Apoi vedem că este posibil să alegem viteza de rotație astfel încât toți vectorii să rămână neschimbați în mărime și să se rotească numai cu viteza unghiulară ω . Și anume dacă $\omega ^{2}=k/m,$

m{\vec {a}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}={\vec {F}}=-k{\vec {r}}.

(În același timp, se poate lua orice lungime a vectorului , se reduce în această ecuație; se poate lua și unghiul de rotație al poziției inițiale ). ${\vec {r))$ ${\vec {r))$

Adică, am găsit o soluție pentru un sistem bidimensional (corespunzător unei diagrame vectoriale) și, prin urmare, proiecția acestei soluții pe axa x este o soluție a ecuației de mișcare pentru un sistem unidimensional, care este

x=const\cdot \mathrm {cos} (\omega t+const'),

unde și sunt orice constante , este o soluție a ecuației de mișcare a unui oscilator armonic $\omega ={\sqrt {k/m}),$ $const,const'$

m{\ddot {x}}=-kx.

Oscilator armonic amortizat cu forță motrice externă

În mod similar, putem considera soluția ecuației de mișcare a unui oscilator armonic cu o forță motrice externă f :

m{\ddot {x}}=-kx-\beta {\dot {x}}+f.

(Aici, în partea dreaptă, primul termen este forța obișnuită de restaurare Hookeiană, al doilea este frecarea vâscoasă, al treilea este forța motrice externă - se înțelege că depinde doar de timp și nu depinde de x ).

Deoarece aproape orice [3] forță f poate fi extinsă într-o serie Fourier sau într-o integrală, adică reprezentată ca o sumă (suma discretă sau integrală) a forțelor sinusoidale, problema se reduce la o problemă cu o forță sinusoidală.

f(t)=f_{0}\mathrm {cos} (\omega t).\

(Datorită liniarității ecuației de mișcare, soluția pentru suma mai multor sau chiar infinit de fs sinusoidale va fi suma soluțiilor pentru fiecare dintre aceste fs ). (În plus, cazul unei forțe pur sinusoidale (și nici măcar suma diferitelor sinusoide) poate fi important în sine).

Rețeta pentru rezolvarea acestei probleme folosind metoda diagramelor vectoriale este următoarea : fiecare valoare cinematică sau dinamică unidimensională (coordonată, viteză, accelerație, forță) este înlocuită (pur formal - sau - dacă doriți - în cadrul comparării sistemul unidimensional original al unui sistem mecanic bidimensional model) cu unul bidimensional.

În același timp, încercăm să alegem acești vectori astfel încât mișcarea bidimensională să fie redusă la rotație pură.

Pentru a face acest lucru, este necesar să se ceară ca forța totală care acționează asupra masei oscilatorului (care este un punct material) să fie întotdeauna îndreptată către același punct (centrul de rotație) și să fie egală ca mărime cu mărimea accelerația centripetă înmulțită cu masa.

Pe baza acestor condiții, obținem o ecuație pentru raportul valorilor absolute ale vectorilor (corespunzătoare în mod evident amplitudinilor de oscilație ale mărimilor unidimensionale corespunzătoare), precum și pentru unghiurile acestora (corespunzând fazelor de oscilaţii dimensionale).

Este rezonabil, pe baza simetriei, să presupunem că rotația ar trebui să aibă loc relativ la originea coordonatelor (punctul de echilibru).

Atunci accelerația trebuie direcționată în acest punct (la urma urmei, ne referim la rotația uniformă corectă), ceea ce înseamnă că avem două condiții dacă luăm în considerare componentele forțelor și accelerației de-a lungul axei corespunzătoare vectorului rază și de-a lungul axei perpendiculare. la el. Aceste două condiții sunt scrise sub formă de ecuații

m\omega ^{2}r=kr-f_{r}\

și

0=f_{\perp }-\beta \omega r

respectiv. (Aici r este modulul vectorului rază, f cu indici diferiți sunt componentele vectorului forță extern de-a lungul vectorului rază și perpendicular pe acesta; prima ecuație conține un echilibru cantitativ al forțelor radiale și accelerației centripete, iar a doua înseamnă compensarea forțelor transversale, care este necesară pentru ca în cele din urmă forța să fie direcționată de-a lungul liniei vectorului cu rază, adică a fost centripet).

Rezolvând fiecare dintre aceste două ecuații în raport cu componenta forței f , apoi punând la pătrat fiecare și adăugând, ținând cont de teorema lui Pitagora , obținem: $f^{2}=f_{r}^{2}+f_{\perp }^{2},$

((km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2})r^{2}=f^{2},\

si de aici:

r={\frac {f}{\sqrt {(km\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2)))))},

adică o expresie pentru amplitudinea oscilației pentru o amplitudine dată a forței motrice f .

(În mod similar, din raportul dintre componentele forței scrise, care reprezintă tangenta unghiului dorit, se găsește unghiul la care vectorul forță din diagramă este înclinat față de vectorul rază. Și acest unghi este întârzierea x faza de oscilaţie relativă la faza de oscilaţie a forţei externe aplicate).

După cum puteți vedea, studiul oscilațiilor sub acțiunea unei forțe sinusoidale de antrenare (din care, printre altele, se obțin condiții de rezonanță etc. etc.) pentru un oscilator armonic este realizat cu succes prin metoda diagramelor vectoriale. . Totuși, pentru studiul altor probleme, cum ar fi obținerea unei soluții amortizate în absența unei forțe motrice externe, o astfel de metodă nu este aplicabilă foarte convenabil [4] .

Calculul circuitelor electrice

Calculul circuitelor electrice este poate cel mai standard și extrem de răspândit caz de utilizare a diagramelor vectoriale și aici, dintr-o serie de motive pedagogice, este aparent cel mai des folosit sub această denumire și în forma sa pură (adică, fără a menţiona măcar numerele complexe) [5 ] .

De fapt, desigur, există o metodă similară bazată pe reprezentarea complexă a oscilațiilor - practic poate fi desemnată ca metoda impedanțelor complexe (vezi și Metoda amplitudinii complexe ). În general, aceasta din urmă este mai puternică decât metoda simplă a diagramelor vectoriale, deoarece este mai formalizată și vă permite să găsiți o soluție pentru un circuit arbitrar (arbitrar complex) format din elemente liniare (rezistențe, condensatoare, inductori) folosind circuitul generalizat. [6] Regulile Kirchhoff . În același timp, diagramele vectoriale pot fi folosite pentru a ilustra această metodă, iar în acele cazuri [7] unde sunt aplicabile, ele coincid în mod formal complet.

Cel mai standard, comun și simplu caz de aplicare a diagramelor vectoriale la circuitele electrice este circuitele în serie și paralele formate din elemente liniare (rezistențe, condensatoare și elemente cu inductanță [8] ).

În principiu, diagramele vectoriale pot fi, dacă parametrii elementelor circuitului și frecvența sunt specificați numeric, utilizate pentru a obține un răspuns grafic aproape fără calcule (prin construirea unui desen precis), dar mai des se înțelege utilizarea unei diagrame vectoriale. ca obținerea unui răspuns folosindu-l sub forma unei formule (atunci vector diagrama joacă rolul unui desen schematic în rezolvarea unei probleme geometrice).

Baza pentru efectuarea unui calcul tipic în termeni care exclud utilizarea explicită a numerelor complexe este conceptul de reactanță , care este introdus pentru condensatori și elemente inductive ( inductoare ), pe baza ecuațiilor fizice de bază [9] care vă permit să relaționați curent prin element și tensiunea pe el (sau EMF în el):

pentru condensator: $CU=Q=\int Idt,$
pentru inductanță: ${\mathcal {E}}=-LdI/dt,$ in afara de asta $U=-{\mathcal {E}}$

Apoi un curent sinusoidal este înlocuit în aceste ecuații:

$I=I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0})$

si ia

pentru condensator:

U={\frac {1}{C\omega }}I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})={\frac {1}{C\omega }} I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{0}-{\frac {\pi }{2))),

pentru inductanță:

U=-L\omega I_{0}\mathrm {sin} (\omega t+\varphi _{0})=L\omega I_{0}\mathrm {cos} (\omega t+\varphi _{ 0}+{\frac {\pi }{2)))).

Rețineți că formulele sunt foarte asemănătoare cu legea obișnuită a lui Ohm

U=RI,

cu excepția a două puncte: 1) dacă rezistența obișnuită (numită în acest context activă ) R nu provoacă o modificare a fazei tensiunii față de curent (sunt în fază), atunci tensiunea de pe condensator rămâne în fază. față de curent cu 90 °, iar pe inductanță tensiunea conduce curentul de fază cu aceeași 90 °; 2) coeficientul cu care se înmulțește curentul pentru a obține o tensiune, numită doar reactanță, depinde atât de condensator, cât și de inductanță de frecvența curentului (și depinde într-un mod diferit, invers).

Astfel, știm cum să descriem tensiunea pe un condensator, inductor sau rezistor pe o diagramă vectorială dacă curentul este cunoscut (adică, vectorul său a fost deja desenat). Și anume: pentru un condensator trebuie să înmulțim (scalăm) vectorul curent cu un factor și să-l rotim cu 90° în sens negativ (în sensul acelor de ceasornic), pentru o inductanță, trebuie să înmulțim vectorul curent cu și să-l rotim cu 90° în sens pozitiv direcție.direcție (în sens invers acelor de ceasornic). Deci obținem un vector care reprezintă tensiunea pentru condensator și inductanță, dacă cunoaștem vectorul curent. Pentru un rezistor („rezistență activă”), pentru a construi un vector care reprezintă tensiunea, un vector care reprezintă curentul trebuie doar înmulțit cu R fără a-și schimba direcția. ${\frac {1}{\omega C)}$ $\omega L$

Exact în același mod, este posibil să construim un vector care reprezintă curentul pe o diagramă vectorială dacă cunoaștem vectorul care reprezintă tensiunea. (Evident, trebuie doar să înmulțiți cu inversele numerelor de mai sus și să rotiți vectorul în direcția opusă).

Când acest lucru este clar, putem lua în considerare sarcinile tipice specifice pentru conectarea în paralel și în serie a elementelor.

Principalul fapt folosit pentru a rezolva problema cu o conexiune paralelă este faptul că tensiunea pe toate elementele conectate în paralel este aceeași, prin urmare, vectorul de tensiune este luat ca vector inițial (este același pentru toate elementele, adică , este doar unul, prin urmare este cu el este convenabil să începeți). Apoi, conform rețetei de mai sus, vectorii de curent pentru fiecare element sunt construiți, iar suma (vectorală) a acestora, desigur, descrie curentul total.
Principalul fapt pentru rezolvarea unei probleme cu o conexiune în serie este egalitatea curentului în toate elementele conectate în serie [10] Apoi începem construcția de la vectorul curent, calculăm tensiunea pe fiecare element în modul descris mai sus (prin activul său activ). sau reactanța), iar tensiunea de la capetele circuitului este calculată ca sumă de vectori reprezentând tensiunea pe fiecare element. Vă permite să determinați amplitudinea și faza tensiunii la capetele circuitului, dacă amplitudinea, faza și frecvența curentului sunt cunoscute. După ce ați scris răspunsul sub forma unei formule, puteți, dacă este necesar, să-l rescrieți astfel încât să exprime, dimpotrivă, un curent necunoscut printr-o tensiune cunoscută.

Ultima opțiune pentru construirea unei diagrame vectoriale (pentru un rezistor, inductanță și condensator conectat în serie) este prezentată în figură.

Detalii

Un circuit în serie (ca în figură) include un rezistor R , un condensator C și un inductor L. Notăm tensiunea pe fiecare dintre aceste elemente, respectiv , U R , U C , UL , iar curentul prin circuit (la fel pentru fiecare element datorită conexiunii lor în serie) notăm I.

Tensiunea de la capetele circuitului (pe care o vom nota U RLC ) va fi suma tensiunilor de la fiecare element:

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L}.

Presupunem (conform condițiilor problemei [11] ) că curentul din circuit este sinusoidal și îl descriem pe diagrama vectorială (partea de sus a figurii) ca un vector orizontal cu o lungime egală cu amplitudinea curent (aceasta înseamnă că luăm faza inițială a curentului drept zero; dacă nu este zero în cazul real, atunci un astfel de caz este redus la al nostru prin deplasarea originii timpului sau prin rotirea întregii diagrame vectoriale cu unghiul a fazei inițiale, care nu schimbă nimic în raționamentul ulterioar).

Presupunem (tot în funcție de starea problemei) că frecvența curentului (și deci tensiunea) este dată și egală cu ω .

Tensiunea pe fiecare dintre elementele circuitului este calculată pe baza rezistenței sale active sau reactive, și anume, amplitudinile tensiunii corespunzătoare lungimii vectorilor prin care aceste tensiuni sunt reprezentate în diagramă sunt egale cu:

|U_{R}|=R|I|,\

|U_{C}|={\frac {1}{\omega C}}|I|,

|U_{L}|=\omega L|I|,\

în plus, primul nu este defazat în raport cu curentul, ceea ce înseamnă că este reprezentat pe diagramă printr-un vector co-direcțional cu I , al doilea - datorită [12] naturii capacitive a reactanței sale - rămâne în urmă în fază. cu 90 °, ceea ce înseamnă că este reprezentat de un vector rotit cu 90 ° în direcția negativă (în sensul acelor de ceasornic) - adică în jos în figură (deoarece I este strict orizontal în această figură), iar al treilea - datorită [13] natura inductivă a reactanței sale - depășește curentul în fază cu 90 °, ceea ce înseamnă că diagrama arată un vector rotit cu 90 ° în direcția pozitivă (în sens invers acelor de ceasornic) - în figura noastră, acesta se dovedește a fi drept în sus.

Apoi, adunăm U R ,U C ,U L conform regulilor de adunare vectorială, adică, ca în figură, construim un lanț de vectori (linie întreruptă), unde fiecare vector adăugat următor este construit astfel încât începutul său coincide cu sfârșitul celui precedent.

Vectorul sumă se dovedește a fi, așa cum am presupus mai sus,

U_{RLC}=U_{R}+U_{C}+U_{L},

cu toate acestea, acum vedem acest vector în diagramă în mod specific.

Lungimea acestui vector se dovedește a fi lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu laturile | U R | și || U L |-| U C || (figura arată cazul când | U L | > | U C |, dar acest lucru nu va afecta calculele ulterioare).

Prin urmare, prin teorema lui Pitagora,

|U_{RCL}|={\sqrt {U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2))},

și înlocuind lungimile vectorilor U R , UL , U C din formulele scrise mai sus, avem

|U_{RCL}|={\sqrt {(I_{0}R)^{2}+(I_{0}\omega L-{\frac {I_{0}}{\omega {C} }})^{2}}},

unde I 0 denotă amplitudinea curentului (egal cu lungimea vectorului I ); scotând I 0 de sub rădăcină, avem:

|U_{RCL}|=I_{0}{\sqrt {R^{2}+(\omega L-{\frac {1}{\omega C)))^{2))},

adică o expresie analitică pentru amplitudinea tensiunii pe circuit.

În concluzie, observăm că acum aceste formule pot fi folosite și pentru a rezolva problema inversă - calculul curentului din circuit la o tensiune dată - pentru aceasta, este necesar doar să rezolvăm elementar prima ecuație pentru I 0 , exprimându-l în termenii parametrilor rămași.

transformata Fourier

Diagramele vectoriale pot fi utilizate în relație cu seria Fourier și transformata Fourier (din punct de vedere fizic, aceasta este interpretată în mare parte ca un studiu al spectrului de frecvență al anumitor procese).

În unele cazuri particulare, utilizarea diagramelor vectoriale face posibilă obținerea unor rezultate exacte destul de netriviale în acest domeniu prin mijloace destul de elementare. Valoarea unei astfel de aplicații în contextul modern, aparent, nu este prea mare, deoarece toate aceste rezultate pot fi reproduse prin tehnici analitice mai standard și mai generale („fără utilizarea desenelor”), totuși, aparent, metoda vectorului diagramele pot fi utile din punct de vedere pedagogic aici, precum și pentru popularizare și, poate, uneori pentru unele aplicații de inginerie.

În plus, diagramele vectoriale pot fi fără îndoială utile în acest domeniu ca ilustrație, precum și pentru o mai bună înțelegere calitativă a rezultatelor formale și, probabil, uneori pentru obținerea unui fel de relații estimative.

Adăugarea a două oscilații sinusoidale

Pentru școlari este, fără îndoială, util să se ia în considerare, din punctul de vedere al diagramelor vectoriale, adăugarea a două semnale sinusoidale care diferă ușor ca frecvență. În ciuda faptului că rezultatul poate fi obținut printr-o simplă aplicare a formulelor trigonometrice, metoda diagramelor vectoriale este valoroasă prin faptul că vă permite să obțineți rezultatul într-un mod geometric transparent care contribuie la o înțelegere calitativă a conținutului matematic al acestui problema [14] .

De fapt, putem spune că luarea în considerare cu ajutorul diagramelor vectoriale poate, printre altele, ajuta la memorarea (sau restaurarea în memorie) a formulelor trigonometrice corespunzătoare.

Transformată Fourier a unui semnal dreptunghiular

Deoarece transformatele Fourier direct și invers sunt esențial simetrice, vorbim atât de imaginea Fourier (spectrul) a unui semnal dreptunghiular [15] cât și invers despre care semnal are un spectru „dreptunghiular” [16] .

Ținând cont de faptul că soluția tuturor problemelor indicate în observația introductivă este formal în esență aceeași, să ne concentrăm pe conturarea modului de rezolvare a celui care are un sens fizic mai transparent. Și anume, în sarcina de a determina forma unui semnal (o formă explicită a unei funcție a timpului), care este suma sumei sinusoidelor egale ca amplitudine și echidistante ca frecvență (și să fie faza inițială a fiecăreia dintre aceste sinusoide fie egal cu zero).

Fiecare dintre aceste sinusoide este evident reprezentată pe o diagramă vectorială printr-un vector de aceeași lungime. În momentul inițial de timp ( t = 0) toți acești vectori sunt orizontali și direcționați spre dreapta. În momentele de timp ulterioare, unghiul de rotație al fiecărui vector depinde liniar de numărul său.

Prin urmare, dacă însumăm vectorii într-o ordine naturală, începând de la frecvența cea mai joasă la cea mai mare, linia întreruptă, constând dintr-un lanț de vectori de însumat, va face, la un moment arbitrar, parte dintr-un „poligon regulat” [17] , adică toate începuturile și sfârșiturile vectorilor se află într-un anumit moment de timp pe un anumit cerc (în momentul inițial, evident, această linie întreruptă este degenerată într-un segment de linie dreaptă).

Observăm imediat că, în cazul unei probleme pentru un spectru continuu, o astfel de linie întreruptă trece evident într-un cerc. Dacă se dorește, această afirmație poate fi justificată riguros, iar toate argumentele pentru spectrul discret pot fi reformulate corespunzător pentru cel continuu.

Vectorul sumă - vectorul desenat de la începutul primului vector din lanț până la sfârșitul ultimului - este în mod evident îndreptat într-un unghi față de orizontală, unde este media frecvențelor inferioare și superioare ale spectrului nostru (care este, frecvențele cele mai înalte și cele mai joase). $\omega _{0}t$ $\omega _{0}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$

Lungimea acestui vector este, de asemenea, ușor de calculat din considerente geometrice elementare.

Diferența calitativă dintre cazul unui spectru discret și unul continuu este că, la un spectru discret, numărul de legături ale liniei întrerupte este finit (și fiecare dintre segmentele sale este, de asemenea, finit), prin urmare, după un timp finit, un poziția va fi atinsă atunci când fiecare vector următor va fi opus celui anterior (linia întreruptă se va „plia” complet până la dimensiunile unui vector), iar după aceea va începe să se „expandă”, până când, după același timp, ajunge în poziția inițială, adică amplitudinea sumei va fi din nou maximă, ca în cazul lui t = 0, iar funcția în sine va fi periodică [18] .
Nu este greu de calculat cât va dura „învelișul semnalului să treacă prin zero” [19] . (Evident, acest lucru se va întâmpla atunci când linia întreruptă - sau în cazul unui spectru continuu, o curbă (arc de cerc) - formată din vectori care reprezintă fiecare sinusoid, se închide pentru prima dată. Acest timp poate fi folosit ca caracteristică cantitativă a „lățimii semnalului” (lățimea vârfului său principal) conform (Evident, semnalul este o funcție pară - adică simetrică în raport cu inversarea timpului -, deci un punct similar pe axa timpului va fi pe negativ semiaxă, simetric față de prima).
Această caracteristică a lățimii semnalului - în combinație cu caracteristica evidentă (din cauza muchiilor sale ascuțite) a lățimii spectrului - poate fi utilizată pentru a formula relații de incertitudine ; acest lucru poate fi util într-o prezentare populară, deoarece necesită în general mijloace matematice elementare, în timp ce esența problemei este atinsă (deși folosind un exemplu anume) suficient de detaliat.

Difracție

Când rezolvăm problema difracției Fraunhofer [20] printr-o fantă, ne confruntăm cu o întrebare similară cu cea considerată în paragraful anterior: cum să însumăm sinusoidele care sunt egale ca amplitudine și deplasate în fază de următoarea față de precedenta unul cu aceeași cantitate (numai în acest paragraf, aceste defazări nu sunt proporționale cu timpul și - în cel mai simplu caz - sinusul unghiului).

În mod similar în cazul paragrafului anterior, fiecare sinusoid este reprezentat de un vector, al cărui lanț, însumat în linie întreruptă, se dovedește a fi înscris într-un cerc, iar în limita continuă (la pe care este necesar să mergem aici) este un arc de cerc. Vectorul sumă - care închide linia întreruptă - este atunci coarda acestui arc, iar lungimea lui este calculată din considerații geometrice elementare.

Este destul de interesant faptul că metoda diagramelor vectoriale face posibilă studierea calitativă a tranziției de la cazul Fraunhofer la un caz mai general (când ecranul de observație se apropie de fantă). (Atunci lungimile vectorilor de adăugat nu mai sunt aceleași, dar se poate înțelege calitativ cum se schimbă imaginea, mai ales atâta timp cât distanța până la ecran nu a scăzut prea mult).

În principiu, metoda diagramelor vectoriale este potrivită pentru găsirea de soluții la problemele de difracție și, în cazul general (pentru care nu există metode analitice), printr-o metodă numerică, o metodă de construcție, sau folosind un dispozitiv mecanic analog, deși în multe dintre aceste aplicații nu este foarte evident cât de corectă este aplicarea termenului de „diagrame vectoriale” (în sensul delimitării de alte metode convenționale - o reprezentare complexă etc.; deși, desigur, în unele cazuri aceasta este fără îndoială). corect – să zicem, într-o construcție pur grafică).

Note

↑ obținut prin regula unui paralelogram , a unui triunghi sau (în cazul însumării mai multor vectori) a unei polilinii.
↑ Cu toate acestea, poate fi considerat cunoscut în mod independent, întrucât, de fapt, până acum s-a luat în considerare doar mișcarea bidimensională, care nu este în sine subiectul metodei diagramelor vectoriale, ci mai degrabă este folosită în aceasta. Pe de altă parte, am observat deja că aproape întregul conținut al metodei diagramelor vectoriale din această secțiune poate fi reformulat în termenii unei simple analogii cu mișcarea bidimensională.
↑ Adică, în funcție de timp după cum doriți, cu alte cuvinte, o funcție arbitrară f (t) . Desigur, clasa de funcții admisibile f(t) trebuie să fie supusă cerinței de rezonanță fizică, de exemplu, pentru a le considera finite sau (deoarece uneori este rezonabil să facem clasa de funcții admisibile și mai largă) cel puțin integrabile în oarecare sens.
↑ În principiu, pot fi sugerate câteva modalități de aplicare, dar ele sunt mai degrabă artificiale și în niciun caz nu fac posibilă obținerea pur și simplu a unui răspuns direct imediat într-o formă naturală, așa cum sa făcut pentru problema discutată mai sus.
↑ Formularea folosind numere complexe nu numai că extinde posibilitățile de aplicare a metodei, dar este și mai compactă și, prin urmare, frumoasă. Cu toate acestea, pentru a-l înțelege, trebuie să petreceți ceva (în principiu, nu mult) timp pentru a vă familiariza cu operațiile elementare pe numere complexe. În această formulare, diagramele vectoriale devin o ilustrare geometrică a metodei, iar notația sa algebrică devine mai simplă, mai scurtă și mai standard.
↑ Generalizarea regulilor lui Kirchhoff aici se referă la utilizarea lor în raport cu circuitele care includ nu numai rezistențe, ci și reactanțe (condensatori și inductori), iar pentru elementele reactive, în loc de rezistențe, se folosesc numere complexe - impedanțe . Pur formal, în acest caz, totul rămâne la fel ca pentru circuitele care includ doar rezistențe; doar că nu toate rezistențele sunt acum numere reale .
↑ Din păcate, în forma sa pură - adică pur geometric, fără utilizarea explicită a numerelor complexe - este aplicabilă (cel puțin aplicabilă convenabil) nu în toate cazurile și chiar se poate spune că în forma sa obișnuită este aplicabilă numai pentru cazul conexiunilor succesive sau paralele ale elementelor de circuit, precum și la circuite serie-paralel (deși în acest din urmă caz este deja vizibil mai puțin convenabil).
↑ În această listă pot fi incluse și alte elemente, de exemplu, amplificatoare în regiunea liniarității lor, iar în aproximarea cu semnal mic, elementele neliniare pot fi aproximativ înlocuite cu unele liniare.
↑ Cel mai simplu - pentru condensatori și inductanțe ideale. O parte din imperfecțiune poate fi apoi reprezentată prin conexiune în paralel sau în serie la elementele ideale ale rezistențelor suplimentare, condensatoarelor, inductanțelor, care trebuie să fie echivalente cu rezistența activă parazită, capacitatea parazită, inductanța parazită a elementelor reale.
↑ Susținem că capacitățile conductorilor înșiși sunt neglijabile, iar o sarcină vizibilă se poate acumula doar pe plăcile condensatorului (simetric), atunci curentul este același peste tot.
↑ O variantă a formulării unei astfel de probleme poate fi o sarcină în condiția unei tensiuni sinusoidale la capetele circuitului, și nu a curentului din acesta. Cu toate acestea, pornind de la un curent sinusoidal - așa cum se precizează în textul principal - ajungem la o tensiune sinusoidală, adică aceste condiții sunt consistente și sunt necesare și suficiente unele pentru altele. Prin urmare, în textul principal, fără pierderi de generalitate, începem prezentarea cu un curent sinusoidal, care este mai simplu și mai clar.
↑ Motivație - vezi articolul de mai sus.
↑ Motivație - vezi și articolul de mai sus.
↑ Ca să nu mai vorbim de faptul că îți permite să vorbești despre asta fără să cunoști formulele trigonometrice menționate, adică, de exemplu, la o vârstă mai fragedă, la nevoie.
↑ În această secțiune, înțelegem un semnal dreptunghiular ca un singur impuls de formă dreptunghiulară, adică o funcție care ia o valoare constantă diferită de zero pe un anumit segment și este egală cu zero peste tot în afara acestui segment.
↑ În plus, această problemă este strâns legată de problema găsirii unui semnal care are un spectru discret de armonici egal distanțate de aceeași intensitate, ocupând un interval finit în frecvență, iar în limită, toate frecvențele (o variantă a zgomotului alb). ).
↑ Ghilimele deoarece termenul poligon regulat nu este folosit strict aici: înseamnă că toate segmentele poliliniei noastre sunt egale și unghiurile dintre cele adiacente sunt egale (ca într-un poligon regulat real), dar în general vorbind acest poligon, chiar dacă este continuat, nu se închide întotdeauna într-un poligon regulat (unghiul dintre segmente nu permite întotdeauna ca segmentele de capăt să coincidă cu vârfurile); deși, în anumite momente în timp (când unghiul devine adecvat), este într-adevăr parte a unui poligon regulat real în sensul strict obișnuit.
↑ Situația este oarecum complicată de faptul că în momentul în care vectorul sumă atinge lungimea maximă, acesta poate, în general, să fie direcționat nu orizontal. Cu toate acestea, pentru cea mai tipică situație, când raportul dintre frecvența cea mai joasă și diferența de frecvență este un număr rațional, rezultatul (proiecția orizontală a sumei) este încă o funcție periodică a timpului și va atinge din nou un maxim după un timp finit. . În cel mai general caz, când acest raport poate fi irațional, avem totuși de-a face cu faptul că funcția se poate apropia din nou de maximul său cât de aproape se dorește (spre deosebire de cazul unui spectru continuu, amplitudinea oscilației scade destul de repede, astfel încât orice următor maxim local este cu siguranță mai mic decât toate precedentele).
↑ Nu vom încerca să dăm aici o formă strictă acestei formulări intuitive evidente.
↑ Putem vorbi nu numai despre optică, ci și despre acustică etc.; în detalii, soluția problemei (și răspunsul) sunt oarecum diferite (datorită includerii polarizării etc.), dar, în general, metoda de soluție descrisă aici este aceeași. (Răspunsul se dovedește, de asemenea, în mare măsură similar, cel puțin calitativ).

Link -uri

Diagrame vectoriale ale circuitelor de curent alternativ monofazate Arhivate la 3 iulie 2014 la Wayback Machine
Model interactiv: diagramă vectorială a sumei a două valori care se modifică conform legii armonice Arhivat 20 iunie 2017 la Wayback Machine
Editor online de diagrame vectoriale Arhivat 24 septembrie 2020 la Wayback Machine