Spațiu hipermetric

Un spațiu hipermetric este un spațiu metric cu anumite condiții suplimentare asupra metricii.

Definiție

Un spațiu hipermetric este un spațiu metric în care sunt valabile inegalitățile hipermetrice. Acesta este,

\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0

pentru orice puncte și numere întregi astfel încât . [unu] $x_1,\dots,x_n$ $b_{1},\dots,b_{n)$ $\sum b_{i}=1$

Note

Pentru și , inegalitatea hipermetrică devine inegalitatea triunghiulară obișnuită $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$ $|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.$

Exemple

$\ell _{1}$ -spațiul și subspațiile acestuia.
Fie o familie de submulțimi măsurabile ale spațiului cu măsura . Dacă metrica on este dată ca $Y$ $X$ $\mu$ $Y$ $|AB|_{Y}=\mu (A\triunghi B)=\mu ((A\cup B)\setminus (A\cap B)),$

atunci este un spațiu hipermetric.

Y

Note

↑ MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.