Ipoteza lui Mahler

Ipoteza lui Mahler este o ipoteză a teoriei metrice a clasificării numerelor despre mărimea „măsurii transcendenței” a aproape tuturor numerelor. A fost formulat de K. Mahler în 1932 [1] Dovedit de V. G. Sprindzhuk în 1965 [2] [3]

Formulare

Luați în considerare aproximații de zero prin valori ale polinoamelor întregi pentru valorile argumentelor care sunt numere reale sau complexe și pentru fixe . Să numim înălțimea polinomului o valoare și să presupunem că aceasta crește. Să notăm . Aici, minimul este preluat peste toate polinoamele întregi de cel mult grad , înălțime cel mult și cu condiția . Să notăm . Fie un număr transcendental. Să introducem notația: — pentru numere reale, — pentru numere complexe, , unde , , unde . $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n)$ $\omega$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$ $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$ $P$ $n$ $H$ $P(\omega)\neq 0$ $w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty ))}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H )))}{\ln H))$ $w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\omega$ $\Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\Theta (\omega)=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega)$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $\eta (\omega)=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega )$ $n=2,\;3,\;\ldots$

Conjectura lui Mahler afirmă că , [4] . $\Theta (\omega)=1$ $\eta (\omega )={\frac {1}{2))$

Dovada

Dovada este în articolul [3] .

Note

↑ Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunction und des Logarithmus // I, II J. reine und angew. Matematică. - 1932. - v. 166. - S. 118-136, 137-150.
↑ Sprindzhuk V. G. Dovada conjecturii lui K. Mahler asupra măsurării mulțimii de numere S complexe // Uspekhi Mat . Nauk . - 1964. - T. 19, nr 2. - S. 191-194.
↑ 1 2 Sprindzhuk V. G. Dovada conjecturii lui Mahler asupra măsurării mulțimii numerelor S // Izv. Academia de Științe a URSS, ser. mat. - 1965. - V. 29, nr 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , p. unsprezece.

Literatură

Problema lui Sprindzhuk VG Mahler în teoria numerelor metrice. - Minsk: Știință și tehnologie, 1967. - 184 p.