Dubla categorie

O categorie duală ( categorie duală ) este o categorie construită dintr-o dualitate dată conform principiului categorie-teoretic , adică pentru o categorie, categoria duală este o categorie cu aceleași obiecte ca și cu seturile de morfisme („înversarea săgeții” ). Compoziția morfismelor în și într-o categorie este definită ca compoziția și în . Conceptele și enunțurile aparținând categoriei sunt înlocuite cu concepte și enunțuri duale în . Folosirea dualității de două ori ia categoria în sine. ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathcal C}$ ${\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)$ $f$ $g$ ${\mathcal C}^{{op))$ $g$ $f$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$

Exemple

Categoria algebrelor booleene este echivalentă cu categoria duală a spațiilor de piatră și a funcțiilor continue.
Categoria schemelor afine este echivalentă cu categoria duală a inelelor comutative .
Dualitatea Pontryagin poate fi limitată la echivalența categoriei grupurilor topologice compacte Hausdorff Abeliene și a categoriei duale a grupurilor abeliene (discrete) .
Conform teoremei Gelfand–Neumark, categoria spațiilor măsurabile local (și funcțiile măsurabile ) este echivalentă cu categoria duală a algebrelor von Neumann comutative .

Proprietăți

$({\mathcal C}\times {\mathcal D})^{{op}}\cong {\mathcal C}^{{op}}\times {\mathcal D}^{{op}}$ (vezi categoria de lucru )
$(Funct({\mathcal C},{\mathcal D}))^{{op}}\cong Funct({\mathcal C}^{{op}},{\mathcal D}^{{op}})$ [1] [2] (vezi categoria functorilor )
$(F\downarrow G)^{{op}}\cong (G^{{op}}\downarrow F^{{op}})$ (vezi categoria virgulă )

Note

↑ H. Herrlich, G.E. Strecker, Teoria categoriilor , ediția a III-a, Heldermann Verlag, p. 99.
↑ O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi , World Scientific, 1991, p. opt.

Literatură

McLane S. Capitolul 2. Construcții în categorii // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .