Difracția prin N fante

Difracția prin N fante este o problemă specială în optică, unde se ia în considerare difracția prin mai multe fante într-un ecran impenetrabil.

Luați în considerare mai întâi reprezentarea matematică a principiului Huygens :

\Psi =\int _{slit}{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,dslit

Luați în considerare N sloturi din ecran cu lățimi egale ( a , , 0) și distanțe d între ele de-a lungul axei x′. Distanța r de la primul slot este dată de: $\infty$

r=z\left(1+{\frac {\left(xx^{\prime }\right)^{2}+y^{{\prime 2))}{z^{2))}\right) ^{{\frac {1}{2}}}

Pentru a generaliza la N sloturi, rețineți că z și y rămân constante atunci când x este deplasat cu

x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd

În acest fel,

r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(xx^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2 ))}\dreapta)^{\frac {1}{2}}

și suma tuturor N contribuțiilor la amplitudine:

\Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^ {\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2} }{2z}}\,dx^{\prime }

Observând că valoarea este mică când luăm în considerare difracția Fraunhofer și , obținem: ${\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}$ $e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\aprox 1$

$\psi$	$=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\ frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }$
	$=C\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^({\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}} }-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}$
	${\displaystyle =C\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}} -e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z))))$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=1}^ {N-1}e^{ijkd\sin \theta }$

Acum folosim următoarea egalitate:

\sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.

Înlocuind în ecuația noastră, ajungem la expresia:

$\psi$	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1- e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^ {-iNkd{\frac {\sin \theta }{2))}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2)))){e^{-ikd{\frac {\sin \ theta }{2))}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2))))}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^ {-iNkd{\frac {\sin \theta }{2))}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2)))){2i)){\frac {e^{-ikd {\frac {\sin \theta }{2))}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2)))){2i))}\left(e^{i(N-1) )kd{\frac {\sin \theta }{2))}\right)$
	${\displaystyle =C{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta} {2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta {2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)))e ^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2))))$

punem k sub forma și reprezentând toate constantele neoscilante ca , ca în difracția cu o singură fante . Ținând cont de , obținem răspunsul pentru intensitatea luminii: ${\frac {2\pi }{\lambda ))$ $I_0$ $\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\rangle \ =e^{0}=1$

I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda}}\sin \theta \right)\right ]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}