Diferențiale de ordin superior

Diferenţiala de ordin n , unde n > 1 , a unei funcţii la un moment dat este diferenţa în acel punct a diferenţialului de ordin (n - 1) , i.e. $z$

d^{n}z=d(d^{n-1}z)

Diferenţială de ordin superior a unei funcţii a unei variabile

Pentru o funcție care depinde de o variabilă independentă , a doua și a treia diferență arată astfel: $z=f(x)$

{\displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2))

d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^ {2}=z'''dx^{3}

Din aceasta, putem deriva forma generală a diferenţialului de ordinul al n -lea a funcţiei , cu condiţia ca aceasta să fie o variabilă independentă: $z=f(x)$ $X$

d^{n}z=z^{(n)}dx^{n)

Când se calculează diferențiale de ordine superioare, este foarte important să existe un arbitrar și independent de , care, atunci când se diferențiază cu respect, ar trebui considerat ca un factor constant. Dacă nu este o variabilă independentă, atunci diferenţialul va fi diferit (vezi mai jos ) [1] . $dx$ $X$ $X$ $X$

Diferenţială de ordin superior a unei funcţii a mai multor variabile

Dacă o funcție are derivate parțiale continue de ordinul doi, atunci diferențiala de ordinul doi este definită după cum urmează: . $z=f(x,y)$ $d^{2}z=d(dz)$

d^{2}z=d\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)=\left ({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{x}dx+\left({\frac {\partial z }{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{y}dy=

=\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2})}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x} }dy\right)dx+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2 }}}dy\right)dy

d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2))}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\ parțial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}

d^{2}z=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy\right)^{2}z

Din punct de vedere simbolic, forma generală a diferenţialului de ordinul al n -lea a unei funcţii este următoarea: $z=f(x_{1},...,x_{r})$

d^{n}z=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1))}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2))} dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{r))}dx_{r}\right)^{n}z

unde , și incremente arbitrare ale variabilelor independente . Creșterile sunt tratate ca constante și rămân aceleași de la o diferență la alta. Complexitatea expresiei diferențiale crește odată cu numărul de variabile. $z=f(x_{1},x_{2},...x_{r})$ $dx_{1},...,dx_{r)$ $x_{1},...,x_{r)$
$dx_{1},...,dx_{r)$

Non-invarianța diferențialelor de ordin superior

Când diferenţialul a treia nu este invariantă (spre deosebire de invarianţa primei diferenţiale ), adică expresia depinde, în general, de dacă variabila este considerată ca fiind una independentă, sau ca o funcţie intermediară a unei alte variabile, pt. exemplu, . $n\geqslant 2$ $n$ $d^{n}f$ $X$ $x=\varphi (t)$

Deci, pentru o variabilă independentă , a doua diferență, așa cum sa menționat mai sus, are forma: $X$

d^{2}z=z''(dx)^{2)

Dacă o variabilă în sine poate depinde de alte variabile, atunci . În acest caz, formula pentru a doua diferență va arăta ca [1] : $X$ $d(dx)=d^{2}x\neq 0$

d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=z''\,(dx)^{2}+z'd^{2}x

În mod similar, a treia diferență va lua forma:

d^{3}z=z'''\,(dx)^{3}+3z''dx\,d^{2}x+z'd^{3}x

Pentru a demonstra non-invarianța diferenţialelor de ordin superior, este suficient să dam un exemplu.
Pentru și : $n=2$ $y=f(x)=x^{3)$

dacă este o variabilă independentă, atunci $X$ ${\displaystyle d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^{3})''(dx)^{2}=6x(dx)^{2))$
dacă și $x=\varphi (t)=t^{2)$ $dx=d\varphi (t)=\varphi '(t)dt=2tdt$
1. $6x(dx)^{2}=6t^{2}(2tdt)^{2}=\color {BrickRed}{24t^{4}(dt)^{2}}$
2. în același timp, și $y=x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}$ $d^{2}y=(t^{6})''(dt)^{2}=\culoare {BrickRed}{30t^{4}(dt)^{2))$

Ținând cont de dependența , deja a doua diferență nu are proprietatea de invarianță la schimbarea variabilei. De asemenea, diferențele de ordine 3 și mai mari nu sunt invariante. $x=t^{2}$

Adăugiri

Cu ajutorul diferenţialelor, o funcţie , supusă existenţei primelor sale derivate, poate fi reprezentată prin formula Taylor : $F$ $(n+1)$

pentru o funcție cu o variabilă:

{\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!)}}+ ..+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal { 4}}x)}{(n+1)!}}

, ;

(0<\theta <1)

pentru o funcție cu mai multe variabile:

{\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0} },y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!)}}+{\frac { d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{(n+1)! } }

(0<\theta <1)

Dacă prima diferenţială este egală cu zero, iar a doua diferenţială a funcţiei este pozitiv-definită (negativ-definită), atunci punctul este un punct minim strict (respectiv, un maxim strict); dacă a doua diferență a funcției este nedefinită, atunci nu există un extremum în punctul . $f(x_{1},...,x_{n})$ $(x_{1},...,x_{n})$ $f(x_{1},...,x_{n})$ $(x_{1},...,x_{n})$

Note

↑ 1 2 Baranova Elena Semenovna, Vasilyeva Natalya Viktorovna, Fedotov Valery Pavlovici. Un ghid practic pentru matematica superioară. Calcule tipice: Ghid de studiu. a 2-a ed. . - „Editura” „Petru” „”, 2012. - S. 196-197. — 400 s. — ISBN 9785496000123 .

Literatură

G. M. Fikhtengolts „Curs de calcul diferențial și integral”, volumul 1