Lungimea modulului

Lungimea unui modul este o modalitate de a măsura „dimensiunea” unui modul , generalizând conceptul de dimensiune a unui spațiu vectorial . Lungimea este definită ca lungimea maximă a unui lanț de submodule imbricate.

Definiție

Fie M un modul ( stânga sau dreapta ) peste R. Spunem că lungimea lanțului submodulelor sale de forma

N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n)

este egal cu n , adică numărăm numărul de incluziuni stricte, și nu numărul de submodule. Lungimea unui modul M este cea mai mare lungime a lanțului dintre toate lanțurile submodulelor sale. Dacă nu există o lungime maximă a lanțului, atunci lungimea lui M este infinită.

Exemple

Singurul modul de lungime 0 este modulul zero. Modulele de lungime 1 se numesc simple .
Pentru un spațiu vectorial cu dimensiuni finite, lungimea este aceeași cu dimensiunea.
Lungimea unui grup ciclic este egală cu numărul de factori din descompunerea lui n în numere prime . ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$

Proprietăți

Un modul are lungime finită dacă și numai dacă este artinian și noetherian .

Lăsa

0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0

este o scurtă secvență exactă de module. În acest caz, M are o lungime finită dacă și numai dacă L și N au o lungime finită, iar lungimea lui M este egală cu suma lungimilor lor. În special, lungimea sumei directe a modulelor este egală cu suma lungimilor componentelor.

Literatură

Steven H. Weintraub , Teoria reprezentării grupurilor finite AMS (2003) - ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6
Barile, Margherita. Lungimea modulului la Wolfram MathWorld .