Legea lui Bernoulli

Legea lui Bernoulli [1] (de asemenea ecuația lui Bernoulli [2] [3] , teorema lui Bernoulli [4] [5] sau integrala lui Bernoulli [2] [6] [7] ) stabilește relația dintre viteza unui flux de fluid staționar și presiune . Conform acestei legi, dacă presiunea fluidului crește de-a lungul liniei de curgere, atunci viteza curgerii scade și invers. Exprimarea cantitativă a legii sub forma unei integrale Bernoulli este rezultatul integrării ecuațiilor hidrodinamice ale unui fluid ideal [2] (adică fără vâscozitate și conductivitate termică ).

Istorie

Pentru cazul unui fluid incompresibil , un rezultat echivalent cu ecuația Bernoulli modernă a fost publicat în 1738 de Daniil Bernoulli [K 1] . În forma sa modernă, integrala a fost publicată de Johann Bernoulli în 1743 [11] pentru cazul unui fluid incompresibil, iar pentru unele cazuri de curgeri de fluide compresibile, de Euler în 1757 [12] .

Bernoulli integrală într-un fluid incompresibil

Presiune maximă
Dimensiune	$L^{-1}MT^{-2}$
Unități
SI	J / m 3 \u003d Pa
GHS	erg / cm 3
Note
În mod constant de-a lungul liniei de curgere a unui flux constant al unui fluid incompresibil .

Pentru un flux constant al unui fluid incompresibil, ecuația lui Bernoulli poate fi derivată ca o consecință a legii conservării energiei . Legea lui Bernoulli spune că o cantitate rămâne constantă de-a lungul unei linii de curgere: $\rho v^{2}/2+\rho gh+p$

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.

Aici

\rho

este densitatea lichidului;

v

- debitul ;

h

- inaltimea;

p

- presiunea ;

g

este accelerația de cădere liberă . O derivație elementară a ecuației Bernoulli din legea conservării energiei

O derivare elementară a ecuației Bernoulli din legea conservării energiei este dată, de exemplu, în manualul lui D. V. Sivukhin [13] . Se ia în considerare mișcarea staționară a fluidului de-a lungul liniei de curgere, prezentată în figură. În stânga, volumul de fluid, inițial închis între două secțiuni și , este afectat de forța , iar în dreapta, forța de sens opus . Viteza și presiunea din secțiunile 1 și 2, precum și zonele acestora, sunt indicate prin indicele 1 și 2. Într-un timp infinitezimal, limita din stânga a acestui volum de lichid s-a deplasat cu o distanță mică , iar cea din dreapta cu o distanță mică. distanta . Lucrul efectuat de forțele de presiune este egal cu: $A_{1}$ $A_{2}$ $F_{1}=p_{1}A_{1}$ $F_{2}=-p_{2}A_{2}$ $v$ $p$ $\Delta t$ $s_{1}=v_{1}\Delta t$ $s_{2}=v_{2}\Delta t$

W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2} p_{2}\dreapta).

La începutul intervalului de timp, volumul de fluid cuprins între cele două suprafețe și este format din elementul albastru stâng și partea albastră din mijloc; la sfârșitul acestui interval, volumul deplasat este format din partea albastră din mijloc și albastru din dreapta. element. Deoarece fluxul este staționar, contribuția fragmentului albastru la energia și masa volumului lichid în discuție nu se modifică, iar conservarea masei ne permite să concluzionam că masa elementului albastru din stânga este egală cu masa lui. elementul albastru drept: Prin urmare, munca forțelor, expresia pentru care poate fi convertită în forma: este egală cu modificarea energiei , care, la rândul său, este egală cu diferența de energie dintre elementul albastru din dreapta și elementul albastru din stânga . $\Delta t$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.$ $\Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}} \dreapta),$ $\Delta E_{2}$ $\Delta E_ {1)$

Pentru un fluid incompresibil, în primul rând, în expresia pentru lucru, putem pune și, în al doilea rând, în expresia pentru energia unui element fluid, ne putem restrânge la energia cinetică și potențială : După aceea, egalitatea dă: , sau . $\rho _{1}=\rho _{2}=\rho$ $\Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),$ $\Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).$ $\Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}$ $p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}$ $p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}$

Constanta din partea dreaptă (poate diferi pentru diferite linii de curgere) este uneori numită presiune totală [2] . Termenii „presiune de greutate” , „presiune statică” și „presiune dinamică” pot fi, de asemenea, utilizați . Potrivit lui DV Sivukhin [13] , iraționalitatea acestor concepte a fost remarcată de mulți fizicieni. $\rho gh$ $p$ $\rho v^{2}/2$

Dimensiunea tuturor termenilor este o unitate de energie pe unitatea de volum. Primul și al doilea termen din integrala Bernoulli au semnificația energiei cinetice și potențiale pe unitatea de volum a lichidului. Al treilea termen de la origine este munca forțelor de presiune (vezi derivația de mai sus a ecuației Bernoulli), dar în hidraulică poate fi numit „energie de presiune” și o parte din energia potențială [14] ).

Derivarea formulei lui Torricelli din legea lui Bernoulli

Când se aplică la scurgerea unui fluid incompresibil ideal printr-o mică gaură din peretele lateral sau fundul unui vas lat, legea lui Bernoulli dă egalitatea presiunilor totale pe suprafața liberă a fluidului și la ieșirea din orificiu:

\rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},

Unde

h

este înălțimea coloanei de lichid din vas, măsurată de la nivelul găurii,

v

este debitul fluidului,

p_{0}

- presiunea atmosferica .

De aici: . Aceasta este formula Torricelli . Acesta arată că, atunci când curge afară, lichidul capătă viteza pe care ar primi-o un corp dacă ar cădea liber de la înălțime . Sau, dacă jetul care curge dintr-un mic orificiu din vas este îndreptat în sus, în punctul de sus (ignorând pierderile) jetul va ajunge la nivelul suprafeței libere din vas [15] . $v={\sqrt {2gh}}$ $h$

Alte manifestări și aplicații ale legii lui Bernoulli

Aproximația unui fluid incompresibil, și odată cu aceasta legea Bernoulli, sunt valabile și pentru fluxurile laminare de gaze, dacă doar vitezele de curgere sunt mici în comparație cu viteza sunetului [16] .

De-a lungul conductei orizontale, coordonata este constantă, iar ecuația Bernoulli ia forma . Rezultă că pe măsură ce secțiunea transversală a curgerii scade din cauza creșterii vitezei, presiunea scade. Efectul reducerii presiunii cu creșterea debitului stă la baza funcționării debitmetrului Venturi [17] și a pompei cu jet [1] . $z$ ${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}$

Legea lui Bernoulli explică de ce navele care se deplasează pe un curs paralel pot fi atrase unele de altele (de exemplu, un astfel de incident a avut loc cu linia olimpică ) [18] .

Aplicatii in hidraulica

Aplicarea consecventă a legii lui Bernoulli a condus la apariția unei discipline tehnice hidromecanice - hidraulica . Pentru aplicații tehnice, deseori ecuația lui Bernoulli este scrisă ca având toți termenii împărțiți la „ gravitatea specifică ” : $\rho g$

H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}}),

unde termenii de lungime din această ecuație pot avea următoarele denumiri:

Presiune [19]
Dimensiune	$L$
Unități
SI	metru
Note
Presiunea totală împărțită la greutatea specifică .

H

— înălțimea hidraulică [4] sau capul [19] ,

h

— înălțimea de nivelare [4] ,

{\frac {p}{\rho g)}

- înălțimea piezometrică [4] sau (împreună cu înălțimea de nivelare) cap hidrostatic [19] ,

{\frac {v^{2}}{2g}}

— înălțimea vitezei [4] sau capul vitezei [19] .

Legea lui Bernoulli este valabilă numai pentru fluidele ideale în care nu există pierderi de frecare vâscoase . Pentru a descrie fluxurile de fluide reale în hidromecanica tehnică (hidraulica), integrala Bernoulli este utilizată cu adăugarea unor termeni care iau în considerare aproximativ diverse „ pierderi de presiune hidraulică ” [19] .

Bernoulli integrală în curgerile barotropice

Ecuația lui Bernoulli poate fi derivată și din ecuația mișcării fluidului [K 2] [K 3] . În acest caz, se presupune că fluxul este staționar și barotrop . Aceasta din urmă înseamnă că densitatea unui lichid sau a unui gaz nu este neapărat constantă (ca în lichidul incompresibil presupus anterior), ci este doar o funcție a presiunii: , ceea ce ne permite să introducem funcția de presiune [22] În aceste ipoteze, cantitate $\rho =\rho (p)$ ${\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p))).$

{\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}

este constantă de-a lungul oricărei linii de curgere și a oricărei linii de vortex . Raportul este valabil pentru fluxul în orice câmp de potențial și este înlocuit cu potențialul forței corpului . $gh$ $\varphi$

Derivarea integralei Bernoulli pentru curgerea barotropică

Ecuația Gromeka-Lamb [23] [24] (parantezele pătrate indică produsul vectorial ) are forma:

{\frac {\partial {\vec {v)}}{\partial t))+\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2)}{2)}\right)+ \left[\mathrm {rot} \,{\vec {v)),{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {F}}

În virtutea ipotezelor făcute și (în cazul particular al unei forțe gravitaționale omogene, potențialul acesteia este ), deci ecuația Gromeka-Lamb ia forma: ${\frac {\partial {\vec {v)}}{\partial t))=0,$ ${\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}$ ${\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi$ $\varphi =g\,h$

\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {putrezire} \, {\vec {v)],{\vec {v}}\right]=0

Produsul scalar al acestei ecuații și vectorul unitar tangent la linia de curgere dă: ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0

deoarece produsul gradientului de vectorul unitar dă o derivată în direcția , iar produsul vectorial este perpendicular pe direcția vitezei. În consecință, de-a lungul liniei de curgere Această relație este valabilă și pentru linia vortex, vectorul tangent către care în fiecare punct este îndreptat de-a lungul ${\frac {\partial }{\partial l)}$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .$ $\mathrm {putrecerea} \,{\vec {v}}.$

Pentru curgerile barotrope irrotaționale , a căror viteză poate fi exprimată ca un gradient al potențialului de viteză , integrala Bernoulli sub forma [K 4] se păstrează și în curgeri instabile, iar constanta din partea dreaptă are aceeași valoare pentru întregul flux [25] . ${\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi$ ${\frac {\partial \psi }{\partial t)}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const}$

Formula Saint-Venant-Wancel

Dacă legea adiabatică este îndeplinită în curgerea unui gaz perfect [26]

p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0 }}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}} {\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1) /\gamma }\dreapta],

atunci ecuația lui Bernoulli este exprimată după cum urmează [27] (contribuția gravitației poate fi de obicei neglijată):

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}} \left[1-\left({\frac {p}{p_{0))}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const}

de-a lungul unei linii de curgere sau vortex. Aici

\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}

este indicele adiabatic al gazului exprimat în termeni de capacități termice la presiune constantă și la volum constant,

p,\\rho

sunt presiunea și densitatea gazului,

p_{0},\\rho _{0)

sunt alese condiționat valori constante (același pentru întregul debit) de presiune și densitate.

Această formulă este utilizată pentru a găsi viteza unui gaz care curge dintr-un vas de înaltă presiune printr-un orificiu mic. Este convenabil să se ia presiunea și densitatea gazului din vas, în care viteza gazului este egală cu zero, pentru a fi luate ca atunci viteza de scurgere este exprimată în termeni de presiune exterioară conform Saint-Venant-Wanzel. formula [ 28] : $p_{0},\\rho _{0},$ $p$

v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left( {\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].

Termodinamica legii lui Bernoulli

Din termodinamică rezultă că de-a lungul liniei de curgere a oricărui flux staționar al unui fluid ideal

{\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const)),\quad s={\text{const}),

unde este entalpia unei unități de masă , este potențialul gravitațional (egal pentru o gravitație uniformă), este entropia unei unități de masă. $w$ $\varphi$ $gz$ $s$

Derivarea legii lui Bernoulli din ecuația lui Euler și relațiile termodinamice

1. Ecuația lui Euler pentru mișcarea staționară ( ) a unui fluid ideal în câmpul gravitațional [29] are forma $\partial {\vec {v}}/\partial t=0$

({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g)),

unde accelerația gravitației poate fi exprimată în termeni de potențial gravitațional (pentru un câmp uniform ), punctul dintre vectorii din paranteze înseamnă produsul lor scalar . ${\vec {g}}=-\nabla \varphi$ $\varphi =gh$

2. Produsul scalar al acestei ecuații și vectorul unitar tangent la linia de curgere dă ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho )){\frac {\partial p}{\partial l)),

întrucât produsul gradientului și vectorul unitar dă derivata în direcție ${\frac {\partial }{\partial l)).$

3. Relația diferențială termodinamică

\mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,

unde este entalpia unei unități de masă , este temperatura și este entropia unei unități de masă, dă $w$ $T$ $s$

{\frac {\partial w}{\partial l)}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l))+T{\frac {\ parțial s}{\partial l)),\quad

asa de

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s} {\partial l)).

Într-un flux staționar al unui fluid ideal, toate particulele care se deplasează de-a lungul unei linii de curgere date au aceeași entropie [30] ( ), prin urmare, de-a lungul liniei de curgere: $\partial s/\partial l=0$

s={\text{const}),\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.

Integrala Bernoulli este utilizată în calculele de inginerie, inclusiv pentru medii care sunt foarte îndepărtate în proprietățile lor de un gaz ideal, de exemplu, pentru vaporii de apă utilizați ca lichid de răcire în turbinele cu abur. În acest caz, așa-numitele diagrame Mollier pot fi utilizate , reprezentând entalpia specifică (de-a lungul axei y ) în funcție de entropia specifică (de-a lungul abscisei ) și, de exemplu, presiunea (sau temperatura) sub formă de o familie de izobare ( izoterme ). În acest caz, succesiunea stărilor de-a lungul liniei de curgere se află pe o linie verticală ( ). Lungimea segmentului acestei linii, tăiată de două izobare corespunzătoare presiunii inițiale și finale ale lichidului de răcire, este egală cu jumătate din modificarea pătratului vitezei [31] . $s={\text{const)}$

Generalizări ale integralei Bernoulli

Integrala Bernoulli se păstrează și atunci când fluxul trece prin frontul undei de șoc, în cadrul de referință în care unda de șoc este în repaus [32] . Cu toate acestea, în timpul unei astfel de tranziții, entropia mediului nu rămâne constantă (crește), prin urmare, relația Bernoulli este doar una dintre cele trei relații Hugoniot , împreună cu legile de conservare a masei și a impulsului, care raportează starea mediu în spatele frontului până la starea mediului înaintea frontului și cu viteza undei de șoc.

Sunt cunoscute generalizări ale integralei Bernoulli pentru unele clase de curgeri de fluide vâscoase (de exemplu, pentru curgeri plan-paralele [33] ), în magnetohidrodinamică [34] , ferohidrodinamică [35] . În hidrodinamica relativistă, când vitezele curgerii devin comparabile cu viteza luminii , integrala este formulată în termeni de entalpie specifică și entropie specifică [37] relativistic invariante [36 ] . $c$

Comentarii

↑ În intrarea lui D. Bernoulli, presiunea internă în lichid nu a apărut în mod explicit [8] [9] [10] .
↑ „...[Derivarea teoremei lui Bernoulli din ecuația energiei] sărăcește conținutul teoremei lui Bernoulli... Integrala Bernoulli, în general, nu depinde de ecuația energiei, deși coincide cu aceasta pentru isentropică și mișcarea adiabatică a unui gaz perfect” [20] .
↑ „Două... moduri de a obține ecuația lui Bernoulli nu sunt echivalente. În derivarea energiei, nu este nevoie să presupunem că fluxul este izoentropic. La integrarea ecuației de mișcare, integralele Bernoulli sunt obținute nu numai de-a lungul liniilor de curgere, ci și de-a lungul liniilor de vortex” [21] .
↑ În literatura rusă, integrala Bernoulli pentru fluxurile potențiale ale unui fluid incompresibil sau barotrop este cunoscută ca integrala Cauchy-Lagrange [25]

Note

↑ 1 2 Legea lui Landsberg G. S. Bernoulli, 1985 .
↑ 1 2 3 4 Vishnevetsky S. L. Ecuația Bernoulli, 1988 .
↑ Titjens O., Prandtl L. Hidro- și Aeromecanică, 1933 .
↑ 1 2 3 4 5 Loitsyansky L. G. Mecanica lichidului și gazului, 2003 , §24. teorema lui Bernoulli.
↑ Milne-Thomson L. M. Theoretical hydrodynamics, 1964 .
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 .
↑ Cherny G. G. Dinamica gazelor, 1988 .
↑ Truesdell K. Eseuri în istoria mecanicii, 2002 .
↑ Mihailov G.K. , 1999 , p. 17.
↑ Darrigol O. O istorie a hidrodinamicii, 2005 , p. 9.
↑ Truesdell K. Eseuri în istoria mecanicii, 2002 , p. 255, 257.
^ Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757) , p. 331.
↑ 1 2 Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94. Mișcarea staționară a unui fluid ideal. ecuația lui Bernoulli.
↑ Chugaev R. R. Hidraulica. - L . : Energie , 1975. - 600 p.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §95. Exemple de aplicare a ecuației Bernoulli. Formula Torricelli.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94, formula (94.6).
↑ Molokanov Yu.K. Procese și aparate pentru prelucrarea petrolului și gazelor . - M . : Chimie, 1980. - S. 60. - 408 p.
↑ Ya. I. Perelman . De ce sunt atrase navele? . Preluat la 27 decembrie 2018. Arhivat din original la 11 mai 2012. (Rusă)
↑ 1 2 3 4 5 Napor, 1992 .
↑ Batchelor J. Introduction to Fluid Dynamics, 1973 , Notă de G. Yu. Stepanov, p. 208.
↑ Goldstein R. V., Gorodtsov V. A. Continuous media mechanics, 2000 , p. 104.
↑ Loitsyansky L.G. Mecanica lichidului și gazului, 2003 , §23, ecuația (9).
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gaz, 2003 , §23, ecuația (7).
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 , Capitolul VIII. §2, ecuația (2.1).
↑ 1 2 Loitsyansky L. G. Mecanica lichidului și gazului, 2003 , §42. Integrala Lagrange-Cauchy.
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gaz, 2003 , §24, ecuația (29).
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gaz, 2003 , §24, ecuația (30).
↑ Loitsyansky L.G. Mecanica lichidului și gazului, 2003 , §24, ecuația (31).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , Ecuația (2.4).
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 , Capitolul VII. §2. functie de presiune.
↑ Paul R.V. , Mecanica, acustica și doctrina căldurii, 2013 , p. 446.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , §85.
↑ Golubkin V. N., Sizykh G. B. Despre unele proprietăți generale ale fluxurilor plan-paralele ale unui fluid vâscos // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, series Fluid and gaz mechanics: journal. - 1987. - Nr 3 . — S. 176–178 . - doi : 10.1007/BF01051932 .
↑ Kulikovskiy A. G. , Lyubimov G. A. Hidrodinamică magnetică . - M .: Fizmatlit , 1962. - S. 54 . — 248 p.
↑ Rosenzweig R. Ferrohidrodinamică / Per. din engleza. ed. V. V. Gogosov. - M .: Mir , 1989. - S. 136. - 359 p. — ISBN 5-03-000997-3 .
↑ Zubarev D. N. , Termodinamică relativistă, 1994 .
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , Ecuația (134.11).

Literatură

Batchelor J. Introducere în dinamica fluidelor / Per. din engleza. ed. G. Yu. Stepanova . — M .: Mir , 1973. — 760 p.
Ecuația lui Vishnevetsky S. L. Bernoulli // Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1988. - T. 1: Efectul Aharonov-Bohm - Rânduri lungi. - S. 187. - 704 p.
Gol'dshtein R. V. , Gorodtsov V. A. Mecanica continuă. Partea 1. - M . : Fizmatlit , 2000. - 256 p. — ISBN 5-02-015555-1 .
Zubarev, D.N. Termodinamică relativistă // Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Efectul Poynting-Robertson - Streamers. - S. 333-334. - 704 p. - ISBN 5-85270-087-8 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hidrodinamică. - Ediția a 5-a, stereotip. - M. : Fizmatlit, 2001. - 736 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul VI). — ISBN 5-9221-0121-8 .
Loytsyansky L.G. Mecanica lichidului și gazului. - M . : Butarda, 2003. - 842 p. — ISBN 5-7107-6327-6 .
Milne-Thomson L. M. Hidrodinamică teoretică. — M .: Mir , 1964. — 656 p.
Mikhailov G.K. Formarea hidraulicii și hidrodinamicii în lucrările academicienilor din Petersburg (XVIII) // Proceedings of the Academy of Sciences, series Mecanica fluidelor și gazelor: jurnal. - 1999. - Emisiune. 6 . — S. 7–25 .
Presiunea // Enciclopedia fizică / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M .: Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasma Compresor - Teorema lui Poynting. - S. 242. - 672 p. — ISBN 5-85270-019-3 .
Paul R. V. Mecanica, acustica și doctrina căldurii . - Ripol Classic, 2013. - 490 p. — ISBN 5458431251 , 9785458431255.
Sedov LI Continuum Mechanics . - M . : Nauka , 1970. - T. 2. - 568 p.
Sivukhin DV Curs general de fizică . - Ediția a III-a, revizuită și mărită. - M . : Nauka , 1989. - T. I. Mecanica. — 576 p. — ISBN 5-02-014054-6 .
Titjens O., Prandtl L. Hidro- și aeromecanică. - M. - L. : GTTI , 1933. - T. 1. - 224 p.
Truesdell K. Eseuri în istoria mecanicii . - M. - Izhevsk: Institutul de Cercetare Informatică, 2002. - 316 p. — ISBN 5-93972-192-3 .
Faber T. E. Hidroaerodinamică / Per. din engleza. ed. A. A. Paveleva. - M . : Postmarket, 2001. - 560 p. - ISBN 5-901095-04-9 .
Cherny G. G. Dinamica gazelor. — M .: Nauka , 1988. — 424 p. — ISBN 5-02-013814-2 .
§182. Legea lui Bernoulli // Manual elementar de fizică / Ed. G. S. Landsberg . - M . : Science , 1985. - T. 1. Mecanica. Căldură. Fizica moleculară.
Darrigol O. Lumi ale curgerii. O istorie a hidrodinamicii de la Bernoullis la Prandtl . - Oxford: Oxford University Press, 2005. - 356 p. — ISBN 978-0-19-856843-8 .
Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1755 (1757). - T. 11 . - S. 316-361 .
Truesdell, Clifford Ambrose. Mecanica rațională a fluidelor, 1687–1765. Introducere redactor la Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. - Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. - V. 12. - C. I-CXXV. — (II).

Link -uri

Traducere în limba rusă a tratatului lui Daniel Bernoulli, în care apare prima integrală (legea) a lui Bernoulli

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană mare chinezesc Britannica (online)