Închidere (topologie)

O închidere este o construcție care dă cea mai mică mulțime închisă care conține o mulțime dată a unui spațiu topologic .

Închiderea unei mulțimi se notează de obicei Altă notație: $S$ $\baruri.$ $\operatorname {cl} (S),\operatorname {Cl} (S).$

Definiții

Următoarele două definiții sunt echivalente.

Fie o submulțime a unui spațiu topologic. Închiderea în este intersecția tuturor mulțimilor închise care conțin $S$ $X.$ $S$ $X$ $S.$

Cometariu. Deoarece intersecția unei familii arbitrare de mulțimi închise este închisă, închiderea este întotdeauna închisă.

Un punct dintr- un spațiu topologic se numește punct de contact al unei mulțimi dacă orice vecinătate conține cel puțin un punct al mulțimii $X$ $X$ $S,$ $X$ $S.$

Setul tuturor punctelor de contact se numește închidere $S$ $S.$

Închiderea setului este închisă.
Închiderea unui set conține setul în sine, adică $S\subseteq {\bar {S)).$
Închiderea unui set conține toate punctele sale limită .
Un set este închis dacă și numai dacă coincide cu închiderea sa, adică $S=\bar{S}.$
Proprietatea de impotenta : aplicarea repetata a operatiei de inchidere nu modifica rezultatul (care decurge imediat din proprietatile 1 si 4) : $\bar{\bar{S}}=\bar{S}.$
Închiderea păstrează relația de cuibărit, i.e. $(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).$
Închiderea unei uniuni este uniunea închiderilor, adică $\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.$
O închidere de intersecție este un subset al intersecției de închideri, adică $\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.$

În toate exemplele de mai jos, spațiul topologic este linia reală cu topologia standard definită pe ea. $\mathbb {R}$