Încărcare (teoria măsurării)

Încărcarea este o funcție de set finit aditiv cu valoare reală definită pe unele -algebre (de exemplu, submulțimile Borel ). $\sigma$

Spre deosebire de măsura obișnuită, care este de obicei înțeleasă ca o funcție setată nenegativă, sarcina poate lua și valori negative.

Mulțimea tuturor sarcinilor peste o mulțime arbitrară cu o algebră sigma este de obicei notă cu . $X$ $\Sigma$ $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$

Definiții înrudite

O sarcină pozitivă este numită aditivă pur finită dacă pentru orice măsură aditivă numărabilă nenegativă rezultă că . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ $\mu$ $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ $\mu=0$
- O sarcină arbitrară este pur aditivă finită dacă acestea sunt taxele și . $\nu ^{+}$ $\nu ^{-}$
O taxă este absolut continuă în raport cu o măsură dacă $\lambda$ $\mu$ $(\forall A\in \Sigma)(\mu (A)=0\la \lambda (A)=0).$

Proprietăți

Mulțimea tuturor sarcinilor formează o rețea normalizată și chiar, în plus, un -spațiu. $K$
Pentru orice sarcină există o parte pozitivă și o parte negativă . Există o expansiune Hahn-Iordan , în virtutea căreia proprietățile sarcinilor pot fi exprimate în termeni de teoria măsurării. $\nu$ $\nu ^{+}\geqslant 0$ $\nu ^{-}\leqslant 0$ $\nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}$
Lasă . Orice sarcină poate fi reprezentată în mod unic ca o sumă , unde este absolut continuă în raport cu și disjunctivă . O astfel de reprezentare a măsurii se numește expansiune Lebesgue. $\mu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$
$\nu$ $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$ $\nu _{1}$ $\mu$ $\nu _{2}$ $\mu$ $\nu$
Orice sarcină poate fi reprezentată în mod unic ca o sumă , unde este o măsură arbitrară aditivă numărabilă și este o sarcină arbitrară pur aditivă finită. Această descompunere este uneori numită descompunerea Yosida-Hewitt . $\nu \in \operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$ $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$ $\nu _{ca)$ $\nu _{pfa}$
Spațiul este conjugat topologic cu spațiul de funcții măsurabile și mărginite definite pe spațiul măsurabil dat. $\operatorname {ba} (X,\;\Sigma )$

Istorie

Termenul „încărcare” a fost introdus pentru prima dată de A. D. Alexandrov . Studiul sarcinii a fost impulsul pentru dezvoltarea teoriei măsurilor aditive finite (anii 1940).

Vezi și

Teorema de

Literatură

Dunford N., Schwartz J. Operatori liniari. Teoria generala. — M. : IL, 1962.
Landkof N. S. Fundamentele teoriei potențialului modern. - M. , 1966.
Khalmosh P. Teoria măsurilor. // Per. din engleza. - M. , 1953.
Alexandroff AD Funcții-mulțimi aditive în spații abstracte I // Math. culegere 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
Alexandroff AD Funcții-mulțimi aditive în spații abstracte II // Math. culegere 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
Alexandroff AD Funcții-mulțimi aditive în spații abstracte III // Math. culegere 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. amer. Matematică. soc. 1952.v. 72, nr 1. P. 46-66.