Semigrup ideal

Idealul unui semigrup este o submulțime a semigrupului care este închis la înmulțirea cu elemente din , unde înmulțirea este înțeleasă ca o operație algebrică pe un semigrup. $I$ $S$ $S$

Definiție

O submulțime nevidă a unui semigrup se numește ideal stânga dacă: , unde este mulțimea produselor elementelor și . $I$ $S$ $S$ $SI\subset I$ $SI$ $si$ $s\în S$ $i\în eu$

$I$ se numeste ideal drept daca: . $IS\subset I$

$I$ se numește ideal cu două părți dacă sunt îndeplinite ambele condiții. De asemenea , numit doar un ideal dacă este un ideal de stânga sau de dreapta $I$ $S$ .

Într-un semigrup arbitrar , pentru orice submulțime nevidă , produsul este un ideal drept, un ideal stâng și un ideal cu două fețe. $S$ $R\subset S$ $RS$ $SR$ $SRS$

Idealurile banale pe care le are orice semigrup sunt mulțimea formată din elementul zero al semigrupului (dacă există unul) și întregul semigrup.

Exemple

Mulțimea numerelor pare formează un ideal cu două fețe al semigrupului de numere naturale în raport cu operația de înmulțire . Aceasta rezultă din faptul că un număr par înmulțit cu oricare altul va fi par. $(\mathbb {N} ,\cdot )$

Mulțimea funcțiilor constante este un ideal cu două fețe al semigrupului tuturor funcțiilor reale în raport cu operația de compunere : $F$

Fie mulțimea tuturor funcțiilor constante (adică pentru orice , valoarea nu depinde de ).

C

c\în C

c(x)

x\in \mathbb {R}

Pentru ca un set să fie un ideal cu două fețe , trebuie să fie atât un ideal pentru stângaci, cât și unul pentru dreptaci .

C

F

F

$C$ este un ideal de stângaci , deoarece $F$ $\forall f\in F,\forall c\in C:fc=f(c(x))=f(const)=const\in C$
$C$ este un ideal dreptaci, din moment ce $\forall f\in F,\forall c\in C:cf=c(f(x))=const\Rightarrow CF\subset C$

Fie o submulțime a tuturor funcțiilor periodice. $S$
1. $S$ este un ideal de stânga în ceea ce privește suprapunerea. Setul de valori ale unei funcții periodice este o secvență periodică ( , unde este perioada funcției), este evident că o funcție a unei secvențe periodice este o funcție periodică: $F$ $s(x)=s(x+T)$ $T$ $f(s(x))=f(s(x+T))\Rightarrow \forall f\in F,\forall s\in S:fs\subset S$
2. Dar nu este un ideal corect. Pentru a vedea acest lucru, este suficient să dam un exemplu unde există astfel de și , că condiția nu este îndeplinită. Să luăm funcțiile: , , a căror suprapunere va avea ca rezultat o funcție neperiodică . $S$ $f\in F$ $s\în S$ $sf\în S$ $sin(x)\in S$ $x^{2}\în F$ $sin(x^{2})$

Fie un semigrup de toate matricele pătrate de ordin în raport cu operația de înmulțire , apoi mulțimea constând din matrici în care toate elementele unei coloane fixe sunt egale formează un ideal stâng. $(\mathrm {K} ,\cdot )$ $n$ $0$

Fie mulțimea tuturor matricelor degenerate . Atunci - un ideal cu două fețe , deoarece produsul unei matrice degenerate de oricare alta va fi o matrice degenerată. $D$ $D$ $(\mathrm {K} ,\cdot )$

Principalele idealuri ale semigrupurilor

Idealul principal (stânga, dreapta, cu două fețe) al semigrupuluigenerat de elementeste cel mai mic ideal (respectiv, stânga, dreapta, cu două fețe) care conține. Idealurile principale din stânga, dreapta și cu două fețe pot fi scrise la fel de: $S$ $\alfa$ $\alfa$

L=S\alpha \cup \alpha

R=\alpha S\cup \alpha

D=S\alpha S\cup \alpha S\cup S\alpha \cup \alpha

Dacă există un element neutru în semigrup , atunci idealurile principale din stânga, dreapta, respectiv cu două fețe, iau forma: $e$

L

S\alpha

R

\alpha S

D

S\alpha S

Să evidențiem câteva idealuri principale din exemplele de mai sus:

1) Mulțimea numerelor pare este principalul ideal cu două fețe al semigrupului . Deoarece fiecare element al mulțimii este reprezentat ca 2 , atunci elementul său generator este 2. $eu$ $(N,\cdot )$ $eu$ $k$

2) Se demonstrează că mulțimea funcțiilor constante este un ideal cu două fețe al semigrupului tuturor funcțiilor reale în raport cu suprapunerea. Să luăm o funcție constantă ca element generator. Atunci mulțimea formei generează mulțimea , deoarece acoperă toate funcțiile reale posibile (este suficient să luăm mulțimea de funcții de forma = + , unde ) de unde rezultă că este idealul principal stâng. Cu toate acestea, nu generează și, prin urmare, nu este un ideal drept principal. $C$ $F$ $c(x)$ $Fc$ $C$ $f(x)$ $X$ $r$ $r$ $\în$ $R$ $C$ $cF$ $C$ $C$

Literatură

E. S. Lyapin, „Semigrupuri”, 1960